Математическая энциклопедия - функций комплексного переменного теория

в широком смысле слова теория функций, областью определения к-рых является нек-рое множество точек z комплексной плоскости (функции одного комплексного переменного) или множество точек z=(z1,. . . ,zn) комплексного евклидова пространства п>1 (функции многих комплексных переменных). В узком смысле слова Ф. к. п. т. есть теория аналитических функций одного или многих комплексных переменных.

Как самостоятельная дисциплина Ф. к. п. т. оформилась примерно к сер. 19 в. в качестве теории аналитич. ций. Основополагающими здесь были работы О. Коши (A. Cauchy), К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) и Б. Римана (В. Riemann), к-рые подходили к развитию теории с различных позиций.

По Вейерштрассу, функция наз. аналитической (или голоморфной) в области если в окрестности каждой точки она разлагается в степенной ряд

в случае многих комплексных переменных, когда n>1, ряд (1) понимается как кратный степенной ряд. Для определения аналитич. ции достаточно даже, чтобы сходящийся ряд (1) был задан в окрестности одной единственной точки z0, ибо ее значения в других точках z1 и соответствующие ряды могут быть определены в процессе аналитического продолжения вдоль различных путей, расположенных в комплексной плоскости (или в пространстве n>1) и соединяющих точки z0 и z1. При аналитич. родолжении могут встретиться особые точки, аналитич. продолжение в к-рые, хотя бы вдоль нек-рых путей, невозможно. Эти особые точки определяют общее поведение аналитич. ции в том отношении, что если два пути L1 и L2, соединяющие одни и те же фиксированные точки z0 и z1 не гомотопны, т. е. если L2 нельзя непрерывно деформировать в L1, не переходя при этом через особые точки, то значения функции f(z1). получаемые при аналитич. родолжении вдоль L1 и L2, могут оказаться различными. Следовательно, полная аналитическая функция w=f(z), получаемая аналитич. родолжением исходного элемента (1) по всевозможным путям, может оказаться многозначной в своей естественной области определения на (или на п>1). Таковы, напр., функции или w=lnz. Можно избавиться от этой многозначности, запретив аналитич. родолжение по некоторым путям, устроив, как говорят, разрезы на комплексной плоскости и выделив однозначные ветви аналитической функции. Однако более совершенный способ превращения многозначной аналитич. ции в однозначную состоит в том, что ее следует рассматривать не как функцию тoчки комплексной плоскости, а как функцию точки римановой поверхности, состоящей из нескольких листов, накрывающих комплексную плоскость и определенным образом соединяющихся между собой. В случае многих переменных вместо римановой поверхности возникает риманова область, многолистно накрывающая пространство п>1. О. Коши в своем построении теории аналитич. ций исходил из понятия моногенности. Функцию w=f(z), он называл моногенной, если она имеет всюду в Dмонодромную (т. е. однозначную и непрерывную, кроме, быть может, полюсов) производную. Несколько расширяя это понятие, под моногенной на множество функцией w=f(z)обычно понимают такую (однозначную) функцию, для к-рой существует во всех точках производная по множеству E

Моногенность в смысле Коши, когда E=D, совпадает с аналитичностью. О. Коши развил теорию интегрирования аналитич. ций, доказав важную теорему о вычетах, Коши интегральную теорему и введя понятие Коши интеграла

выражающего значение аналитич. ции f(z) через ее значения на любом замкнутом контуре Г. охватывающем точку z и не содержащем внутри или на Г особых точек f(z). Как простейшее интегральное представление аналитич. ций, понятие интеграла Коши сохраняется и для функций многих переменных.

Введя комплексные переменные можно записать любую функцию двух переменных хи у: w=f(x, y)=u(x, y)+iv(x, у )как функцию от z и Коши-Римана условия, выделяющие среди таких функций аналитические, состоят в том, что функции w=и( х, y)+iv(x, у )должны быть дифференцируемыми по совокупности переменных ( х, у), причем всюду в Dдолжно выполняться равенство

или, подробнее, u'x=v'y, u' y=-v'x.

Условия (4) означают, что действительная и мнимая части аналитич. ции и( х, у )и v( х, у )должны быть сопряженными гармоническими функциями. В случае аналитич. ций многих комплексных переменных условия (4) должны выполняться по всем переменным

Для Б. Римана наиболее важным было то обстоятельство, что выделяемая условиями (4) аналитич. ция w=f(z) осуществляет при определенных условиях конформное отображение области Dна нек-рую другую область на плоскости комплексного переменного w. Связь аналитич. ций с конформными отображениями открывает путь для решения ряда задач математич. физики.

Дальнейшее развитие Ф. к. п. т. происходило и происходит прежде всего как углубление и расширение теории аналитич. ций (см., напр., Граничные задачи теории аналитических функций, Граничные свойства аналитических функций, Единственности свойства аналитических функций, Интегральное представление аналитической функции, Мероморфная функция, Многолистная функция, Однолистная функция, Целая функция). Важное значение имеют связанные с аналитич. циями проблемы аппроксимации и интерполирования функций. При этом оказывается, что в теории аналитич. ций многих переменных специфика и трудность задач таковы, что они поддаются решению лишь с привлечением самых современных методов алгебры, топологии и анализа.

Большое теоретическое и прикладное значение имеет изучение граничных свойств голоморфных функций, в частности интеграла типа Коши (см. Коши интеграл), получаемого из (3), когда значения на контуре Г задаются совершенно произвольно, его многомерных аналогов и других интегральных представлений.

Важные для приложений обобщенные аналитические функции получаются, в своей простейшей форме, как решения более общего, чем (4), уравнения

Их основные свойства (в случае одного переменного) довольно подробно исследованы.

Большое значение для самой теории аналитич. ций (в частности, для теории римановых поверхностей) и для приложений имеет изучение квазиконформных отображений.

Развивается также теория аналитических функций абстрактных со значениями в различных векторных пространствах.

Лит.:[1] Привалов И. И., Ввведение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68; [3] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973; [4] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [5] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., т. 1-2, М., 1976; [6] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985