Математическая энциклопедия - фундаментальный класс

-1) Ф. к. ( п -1)-связкого (т. е. такого, что при топологич. пространства X - элемент r п группы Соответствующий при изоморфизме в к-рый вырождается формула универсальных коэффициентов

гомоморфизму h^-1, обратному к гомоморфизму Гуревича (являющемуся по теореме Гуревича (см. Гомотопическая группа )изоморфизмом). Если Xявляется клеточным разбиением (клеточным пространством), то Ф. к. rn совпадает с первым препятствием к построению сечения Серра расслоения к-рое лежит в а также с первым препятствием к гомотопии тождественного отобрсчжения постоянному отображению. В случае, когда ( п -1)-мерный остов клеточного разбиения Xсостоит из одной точки (на самом деле это предположение общности не ограничивает, поскольку любое (п 1)-связное клеточное разбиение гомотопически эквивалентно клеточному разбиению без клеток положительной размерности, меньшей ге), замыкание каждой n-мерной клетки является n-мерной сферой и потому ее характернcтич. отображение определяет нек-рый элемент группы Поскольку эти клетки образуют базис группы С п(X), тем самым определена n-мерная коцепь из Эта коцепь является коциклом, класс когомологий к-рого и есть Ф. к.

2) Ф. к., ориентационный класс, связного ориентируемого n-мерного многообразия Мбез края (соответственно, с краем образующая [М]группы Н п (М)(соответственно, группы являющейся свободной циклич. группой. Если многообразие Мтриангулируемо, то Ф. к. представляет собой класс гомологии цикла, являющегося суммой всех когерентно ориентированных n-мерных симплексов произвольной его триангуляции. Для каждого qгомоморфизм

где -произведение определяется формулой

является изоморфизмом, называемым Пуанкаре двойственностью (если многообразие Мимеет край то О Ф. к. говорят также и для неориентируемых (но связных) многообразий . без края; в этом случае под ним понимается единственный отличный от нуля элемент группы (если многообразие имеет край то группы В этом случае двойственность Пуанкаре также имеет место.

Лит.:[1] Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л., Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1969; [2] Мошер Р. Э., Тангора М. К., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970; [3] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [4] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [5] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976.

С. Н. Малыгин, М. М. Постников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985