Математическая энциклопедия - функтор

-отображение одной категории в другую, согласованное со структурой категории. Точнее, одноместным ковариантным функтором из категории в категорию или, короче, Ф. из в наз. пара отображений обозначаемых обычно одной и той же буквой, напр. F подчиненных условиям:

1) для каждого

2) для любых морфизмов

Ф. из категории двойственной категории в категорию наз. одноместным контравариантным функтором из в Таким образом, для контравариантного Ф. по-прежнему должно выполняться условие 1), а вместо условия 2) условие 2*) для любых морфизмов

n-местным функтором из категорий ..., в категорию ковариантным по аргументам 1 < i1 < i2 < ... < ik< пи контравариантным по остальным аргументам, наз. функтор из декартова произведения категорий

в категорию где при i = i1, ..., ik и при остальных i. Двуместные Ф., ковариантные по обоим аргументам, наз. бифункторами.

Примеры функторов. 1) Тождественное отображение произвольной категории в себя есть одноместный ковариантный Ф., к-рый наз. тождественным функтором категории и обозначается 2) Пусть -произвольная категория, -категория множеств, А- фиксированный объект из Сопоставление каждому множества и каждому морфизму отображения где для каждого является Ф. из в Этот Ф. наз. основным ковариантным функтором из в с представляющим объектом А. Аналогично, сопоставляя объекту . множество и морфизму отображение где строится основной контравариантный функтор из в с представляющим объектом А. Эти Ф. обозначаются Н ^А и Н А соответственно. Если -категория векторных пространств над полем К, то Ф. Н К задает переход от пространства Ек сопряженному пространству линейных функционалов Е*. В категории топологических абелевых групп Ф. HQ, где Q-факторгруппа группы действительных чисел по подгруппе целых чисел, сопоставляет каждой группе ее группу характеров. 3) Сопоставление каждой паре объектов X, Y произвольной категории множества Н(X, Y), а каждой паре морфизмов -отображения определяемого равенством для любого является двуместным Ф. в категорию контравариантным по первому аргументу и ковариантным по второму.

В любой категории с конечными произведениями произведение можно рассматривать как n-местный Ф., ковариантный по всем аргументам, при любом натуральном п. Как правило, конструкции, к-рые определяются для любого объекта категории или для любой последовательности объектов фиксированной длины независимо от индивидуальных свойств объектов, являются Ф. Таковы, напр., конструкция свободных алгебр нек-рого многообразия универсальных алгебр, к-рые единообразно сопоставляются каждому объекту категории множеств, конструкция фундаментальной группы топологич. пространства, конструкции групп гомологии и когомологий различных размерностей и т. д.

Любой Ф. определяет отображение каждого множества в множество сопоставляя морфизму морфизм Ф. Fназ. унивалентным, если все указанные отображения инъективны, и полным, если все эти отображения сюръективны. Для всякой малой категории сопоставление можно продолжить до полного унивалентного Ф. J из в категорию диаграмм со схемой над категорией множеств

Лит.:[1] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [3] Мас Lane S., Kategorien. Begriffssprache und mathematische Theorie, В., 1972; [4] Schubert H., Kategorien, I-II, В.Hdlb.N. Y., 1970; [5] Цaленко М. ГЛ., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.

М. Ш. Цаленко.

К-ФУНКТОР в алгебраической геометрии инвариант когомологич. типа, сопоставляемый схемам в алгебраич. K-теории. Точнее говоря, в алгебраич. K-теории строится контравариантный функтор

из категории схем в категорию градуированных коммутативных колец [1]. К- Ф . родствен этальным когомологиям, однако между ними есть важное отличие: K-теория несет в себе обширную лцелочисленную

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985