Математическая энциклопедия - оператор

отображение одного множества на другое, каждое из к-рых наделено нек-рой структурой (алгебраич. операциями, топологией, отношением порядка). Общее определение О. совпадает с определением отображения или функции: пусть Xи Y два множества; оператором Аиз множества Xво множество Yназ. правило или соответствие, к-рое каждому элементу хиз нек-рого подмножества сопоставляет однозначно определенный элемент ; множество Dназ. областью определения оператора A и обозначается D (А);множество {(х),} наз. областью значений оператора A и обозначается R(A). Часто пишут Ах вместо (х). Термин "О." используется чаще всего в случае, когда Xи Y - векторные пространства. Если A оператор из Xв Y, где Y=Х, то Аназ. оператором в X. Если D(A)=X, то Аназ. всюду определенным оператором. Если A1, Aa- операторы из X1 в Y1 н из Х 2 в Y2 с областями

определения D(A1).и D(A2) соответственно и такие, что i и A1x=A2x при всех , то при X1= Х 2, Y1= Y2 оператор А 1 называется суженнем, или ограничением, оператора А 2, а оператор A2 расширением оператора A1; при , А 2 называется расширением оператора A1 с выходом из Х 1.

Многие уравнения в функциональных или абстрактных пространствах можно представить в виде Ах-у, где , , у - задан, х - неизвестен, А - оператор из Xв Y. Утверждение о существовании решения такого уравнения при любой правой части равносильно утверждению, что область значении оператора Аесть все пространство Y; утверждение, что уравнение (х)=у имеет при любом единственное решение, означает, что Авзаимно однозначно отображает D(А).на R(А).

Если Xи Y векторные пространства, то в множестве всех О. из Xв Y можно выделить класс линейных операторов;остальные О. из Xв Y наз. нелинейными операторами. Если Xи Y топологические векторные пространства, то в множестве 0. из X в Y естественно выделяется класс непрерывных операторов, а также класс ограниченных линейных операторов A (таких операторов А, что образ любого ограниченного множества в Xограничен в У) и класс линейных компактных операторов (т. е. таких О., что образ любого ограниченного множества в Xпредкомпактен в Y). Если X и Y локально выпуклые пространства, то в Xи Y естественно рассматривать различные тоцологии; О. наз. полунепрерывным, если он определяет непрерывное отображение пространства X(в исходной топологии) в пространство Y в слабой топологии (понятие полунепрерывности используется главным образом в теории нелинейных О.); О. наз. усиленно непрерывным, если он непрерывен как отображение пространства Xв ограниченно слабой топологии в пространство У; О. наз. слабо непрерывным, если он определяет непрерывное отображение X в Y, где X и Y наделены слабой топологией. Часто компактные О. наз. вполне непрерывными. Иногда термин "вполне непрерывный О." используется вместо термина "усиленно непрерывный О." или для обозначения О., переводящего любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся; если Xи Y рефлексивные банаховы пространства, то эти условия эквивалентны компактности О. Если О. усиленно Непрерывен или компактен, то он непрерывен; если О. непрерывен, то он слабо непрерывен.

Графиком оператора Аназ. множество , определенное соотношением

Пусть X и Y топологические векторные пространства; оператор Аиз Xв Y наз. замкнутым оператором, если его график замкнут. Понятие замкнутого О. особенно плодотворно в случае линейных О. с плотной областью определения.

Понятие графика позволяет обобщить понятие О.: многозначным оператором из X в Y наз. любое подмножество Ав X x Y; если X и Y векторные пространства, то многозначным линейным О. наз. линейное подпространство X x Y; областью определения многозначного О. наз. множество

D(А) = {хX:существует такой, что {х, у} А}.

Если X векторное пространство над полем kи Y=k, то всюду определенный О. из Xв kназ. функционалом на X.

Если Х и Y локально выпуклые пространства, то оператор A из X в Y с плотной в X областью определения имеет сопряженный оператор А* с плотной в Y* в ослабленной топологии областью определения тогда и только тогда, когда А - замкнутый О.

Примеры операторов. 1) О., сопоставляющий любому элементу элемент (нулевой оператор).

2) О., сопоставляющий любому элементу этот же элемент (единичный оператор в Xобозначается idX или 1X).

3) Пусть X векторное пространство функции на нек-ром множестве М и f функция на М; О. в X с областью определения

действующий по правилу

Aj=fj

при (А), наз. оператором умножения на функцию; А - линейный О.

4) Пусть X векторное пространство функций на множестве Ми F - отображение множества Мв себя; О. в X с областью определения

действующий но правилу

при (А), будет линейным О.

5) Пусть X, У векторные пространства действительных измеримых функций на пространствах с мерой ( М,SM, m) и (N,SN n) соответственно, К-функция на Mx Nx , измеримая относительно произведения мер m x n x m0> где m0мера Лебега на , и непрерывная по при любых фиксированных , ; О. из Xв Y с областью определения

существующий для почти всех и , действующий по правилу Aj=f при , наз. интегральным оператором; если

то Алинейный О.

6) Пусть X векторное пространство функций на дифференцируемом многообразии М,x векторное ноле на М;оператор Ав X с областью определения

D(А) = {:. производная Dxf функции f вдоль поля x определена всюду и DxfX}, действующий по правилу Af=Dxf при , наз. оператором дифференцирования; A линейный О.