Математическая энциклопедия - операторное кольцо

кольцо с областью операторов S,кольцо, в к-ром определено умножение элементов кольца на элементы из нек-рого фиксированного множества S (внешний закон композиции), удовлетворяющее следующим аксиомам:

(a+b)=a=aa+ba (1)

(ab)a=(aa)b=a(ba) (2)

где a элемент множества -элементы кольца. Операторы, таким образом, действуют как эндоморфизмы аддитивной группы, перестановочные с умножением на элемент кольца. Кольцо с областью операторов S, или короче S операторное кольцо, можно трактовать и как универсальную алгебру с двумя бинарными операциями (сложением и умножением) и множеством S унарных операций, связанных обычными кольцевыми тождествами, а также тождествами (1) и (2). Понятия S допустимого подкольца, S допустимого идеала, S операторного изоморфизма и S операторного гомоморфизма могут быть определены подобно тому, как это делается для операторных групп. Если S операторное кольцо R обладает единицей, то все идеалы и все односторонние идеалы кольца RS допустимы.

Кольцо Rназ. кольцом с кольцом операторов S, если оно есть S операторное кольцо, область операторов S к-рого сама является ассоциативным кольцом, причем для любых и справедливы равенства

Кольцо с кольцом операторов можно определить так же, как кольцо являющееся одновременно S-модулем и удовлетворяющее аксиоме (2). Всякое кольцо можно естественным образом считать операторным над кольцом целых чисел.

Для всех аиз Rи a,b из S элемент а(ab-ba) является аннулятором кольца R. Поэтому, если R кольцо бея аннуляторов, то его кольцо операторов S непременно коммутативно.

Наиболее часто рассматриваются кольца с ассоциативно-коммутативным кольцом операторов, обладающим единицей. Такое О. к. наз. обычно алгеброй над коммутативным кольцом, а также линейной алгеброй. Наиболее изучены линейные алгебры над полями, их теория развивается параллельно общей теории колец (без операторов).

Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2изд., М., 1973. К. А. Жевлаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985