Математическая энциклопедия - операторная топология

топология в пространстве L(E, F).непрерывных линейных отображений одного топологического векторного пространства Ев другое топологии, пространство F, превращающая пространство L(E, F).в топологическое векторное пространство. Пусть F - локально выпуклое пространство и такое семейство ограниченных подмножеств пространства Е, что линейная оболочка объединения множеств этого семейства плотна в Е;пусть базис окрестностей нуля в F. Семейство

где Sпробегает , а Vпробегает , является базисом окрестностей нуля для единственной инвариантной относительно сдвигов топологии, к-рая является О. т. и превращает пространство L(E, F). в локально выпуклое пространство; эта топология наз. -топологией на L( Е, F).

Примеры. Г. Пусть Е, F - локально выпуклые пространства; 1) пусть семейство всех коночных подмножеств в Е, соответствующая -топология (в L( Е, F)).наз. топологией простой (или поточечной) сходимости; 2) пусть семейство всех выпуклых закругленных компактных подмножеств Е, соответствующая топология наз. топ о-логией выпуклой закругленной компактной сходимости; 3) пусть семейство всех предкомпактных подмножеств Е, соответствующая -топология наз. топологией предкомпактной сходимости; 4) пусть семейство всех ограниченных подмножеств, соответствующая топология наз. топологией ограниченной сходимости.

II. Если Е, F - банаховы пространства, рассматриваемые одновременно в слабой или сильной (нормированной) топологии, то соответствующие пространства L(E, F).алгебраически совпадают; соответствующие топологии простой сходимости наз. слабой и сильной О. т. в L(E, F). Сильная О. т. мажорирует слабую О. т.; обе они согласуются с двойственностью между L(E,F).и пространством функционалов на L(E, F).вида , где , AL(E, F).

III. Пусть Е, F - гильбертовы пространства и , счетные прямые суммы гильбертовых пространств Е n, Fn соответственно, где Е п=Е, Fn=F для всех натуральных n; пусть y вложение пространства L(E, F).в , определенное условием: для любого оператора ограничение оператора y(А).на подпространство ЕД переводит Е п в Fn и совпадает на Е п с оператором А. Тогда полный, прообраз в L(E, F).слабой (сильной) О. т. в наз. ультраслабой (соответственно ультрасильной) О. т. в L(E, F). Ультраслабая (ультрасильная) топология мажорирует слабую (сильную) О. т. Симметричная подалгебра алгебры L(E).всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве Е, содержащая единичный оператор, тогда и только тогда совпадает с множеством всех операторов из L(E), перестановочных с каждым оператором из L(E), перестановочным со всеми операторами из , когда замкнута в слабой (или сильной, или ультраслабой, или ультрасильной) О. т., то есть является Неймана алгеброй.

Лит.:[1] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [2] Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1%2; [3] Н а и м а р к М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [4] S a k a i S., C*-algebras and W*-algebras, В., 1971.

А. И. Штерн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985