Математическая энциклопедия - геодезическая линия

геодезиче-ская,геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный элемент, линейная связность) лежит в основе геометрии рассматриваемого пространства. В геометрии тех пространств, где метрика считается заданной априори, Г. л. определяют как локально кратчайшие. В пространствах со связностью Г. л. определяют как кривые, у к-рых касательный вектор остается касательным при параллельном перенесении вдоль кривой. В римановой и финслеровой геометриях, где первоначально задается линейный элемент (иначе говоря,метрика в касательном пространстве в каждой точке рассматриваемого многообразия), а длины кривых получаются последующим интегрированием, Г. л. определяют как экстремали функционала длины кривой.

Впервые Г. л. изучались И. Бернулли (J. Bernoulli) и Л. Эйлером (L. Euler) при отыскании кратчайших на регулярных поверхностях в евклидовом пространстве. На таких линиях обращается в нуль геодезическая кривизна;главная нормаль этих кривых параллельна нормали к поверхности. При изгибаниях Г. л. сохраняются. Движение консервативной механич. системы с конечным числом степеней свободы описывается Г. л. в соответственно подобранном римановом пространстве.

В римановых пространствах Г. л. изучены наиболее полно.

Пусть Mⁿ есть n-мерное риманово пространство с метрич. тензором класса . Определение Г. л. как экстремали позволяет написать ее дифференциальные уравнения в произвольных локальных координатах , при любой параметризации :

где

Другая эквивалентная форма уравнений Г. л. выводится из требования параллельности переноса вдоль касательного вектора Если t есть длина s дуги вдоль Г. л. или линейная функция от s, то

Определение Г. л. уравнением (1) включает и канонич. выбор параметра. При таком определении через каждую точку проходит Г. л. с начальным касательным вектором Отображение касательного пространства в точке в изучаемое пространство есть экспоненциальное отображение с полюсом . Вблизи начальной точки х 0 - диффеоморфизм, вводящий в изучаемом пространстве римановы координаты.

Ряд свойств Г. л. сохраняется у кривых, определяемых уравнениями 2-го порядка если, подобно (1), функция F - однородная 2-й степени по Определение таких уравнений в терминах касательных расслоений приводит к понятиям пульверизации и их интегральных кривых. Частным случаем последних являются Г. л. (см. [2]).

Поведение Г. л. в малом похоже на поведение прямых в евклидовом пространстве. Достаточно малая дуга Г. л. является кратчайшей среди всех спрямляемых кривых с теми же концами. Через любую точку в любом направлении проходит единственная Г. л. У каждой точки есть окрестность U, в к-рой любые две точки соединимы единственной Г. д., не выходящей из U(см. [3]).

Вопрос о том, как далеко можно продолжить из точки х 0 дугу Г. л., чтобы она оставалась кратчайшей по сравнению с близкими к ней кривыми, составляет одну из задач вариационного исчисления. Сравнение Г. л. с близкими кривыми основано на изучении второй вариации длины, к-рая исследуется путем рассмотрения поля скоростей ( Якоба поле).в точках Г. л. при варьировании . При любом фиксированном tкривая остается геодезической, а параметр s на ней каноническим. Если в начале кривой скорость равна нулю, то те точки кривой , где эта скорость при каком-либо ненулевом поле Якоби оказывается нулем, наз. сопряженными точками. Г. л. остается кратчайшей по сравнению с близкими кривыми до первой сопряженной точки. Для дуги Г. л., продолженной за сопряженную точку, существует сколь угодно близкая более короткая кривая с теми же концами. Поле Якоби удовлетворяет уравнению

где касательный вектор геодезической , а кривизны преобразование, или, в координатах Ферми