Математическая энциклопедия - геометрия чисел

геометрическая теория чисел,раздел теории чисел, изучающий теоретико-числовые проблемы с применением геометрич. методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась с выходом основополагающей монографии Г. Минков-ского [1] в 1896. Исходным пунктом направления, развившегося в самостоятельный раздел теории чисел, явилось то обстоятельство (подмеченное Г. Минковским), что нек-рые предложения, почти очевидные при рассмотрении фигур в n-мерном евклидовом пространстве, имеют глубокие следствия в теории чисел.

Основной и типичной задачей Г. ч. является задача об арифметич. минимуме нек-рой действительной функции

при этом под понимается точная нижняя граница значений функции , когда хпробегает все целые точки (т. е. точки с целочисленными координатами), удовлетворяющие нек-рому дополнительному условию (напр., условию ).

В важнейших частных случаях эта задача решается теоремой Минковского о выпуклом теле, к-рая может быть сформулирована так: пусть есть n-мерное выпуклое тело объема , причем тогда

Значение m(F).позволяет судить об условиях существования решений диофантова неравенства (см. Диофантовы приближения)

к этому вопросу сводятся многие задачи теории чисел. Особым разделом Г. ч. является геометрия квадратичных форм.

В Г. ч. различают два общих типа проблем, наз. однороднойи неоднородной проблемами.

Однородная проблема, исследования по к-рой составляют большую часть Г. ч., посвящена изуг чению однородных минимумов лучевой функции F в точечной решетке Л. Понятие точечной решетки является основным понятием Г. ч. Пусть линейно независимые векторы n-мерного евклидова пространства. Множество точек

когда пробегают независимо друг от друга все целые числа, наз. (точечной) решеткой с базисом и определителем

Пусть в заданы лучевая функция и решетка определителя . Точная нижняя граница

значений функции Fв точках решетки наз. минимумом функции Fв решетке (точнее, однородным арифметическим минимумом). Точная нижняя граница , к-рая может и не достигаться, заведомо достигается для ограниченного звездного тела, определяемого неравенством

Для оценки сверху важно уметь вычислять или оценивать постоянную Эрмита лучевой функции , определяемую равенством

где точная верхняя граница берется по множеству всех га-мерных решеток .

Центральным пунктом Г. ч. является установление связи между , критич. определителем (см. ниже) множества и (если F - симметричная выпуклая лучевая функция) плотностью плотнейшей решетчатой упаковки тела .

Пусть в n-мерном евклидовом пространстве заданы множество и решетка Л определителя Решетка наз. допустимой для или -допустимой, если не содержит точек из , отличных от 0. Множество , имеющее хотя бы одну допустимую решетку, наз. множеством конечного типа; в противном случае наз. множеством бесконечного типа. Пусть множество конечного типа; точная нижняя граница

множества определителей всех -допустимых решеток наз. критическим определителем множества . Всякая -допустимая решетка с условием

наз. критической решеткой множества Для множества бесконечного типа, по определению,

Вычисление постоянной Эрмита лучевой функции сводится к вычислению критич. определителя звездного тела определяемого условием

Связь между критич. определителем и плотностью плотнейшей решетчатой упаковки устанавливается следующей теоремой Блихфельдта. Пусть произвольное множество, соответствующее ему разностное множество (т. е. совокупность точек ) и пусть решетка. Для того чтобы расположение , т. е. семейство множеств , где , было упаковкой, необходимо и достаточно, чтобы решетка была допустимой.

Плотность плотнейшей решетчатой упаковки ограниченного измеримого по Лебегу множества меры выражается равенством

Для произвольного множества и измеримого по Лебегу множества меры , удовлетворяющего условию , справедливо неравенство (другая формулировка теоремы Блихфельдта):

Если выпуклое тело, симметричное относительно точки О, то

где плотность плотнейшей решетчатой упаковки тела Так что в случае симметричной выпуклой лучевой функции вычисление сводится к вычислению плотнейшей решетчатой упаковки тела , определяемого условием

Важнейшим предложением Г. ч. является теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть выпуклое тело, симметричное относительно начала координат и имеющее объем . Тогда

Иными словами, решетка , для к-рой

имеет в точку, отличную от 0.

Неравенство (1) наз. неравенством Минковского; оно дает оценку снизу для критич. определителя выпуклого тела , симметричного относительно 0. Эта оценка, вообще говоря, неулучшаема. Для достижения равенства необходимо и достаточно, чтобы . Выпуклые тела , удовлетворяющие условию , наз. параллелоэдрами. Они играют важную роль в Г. ч. и кристаллографии математической.

Все приложения теоремы Минковского о выпуклом теле основаны на том, что для выпуклой симметричной лучевой функции и произвольной решетки определителя справедливо неравенство

где

В частности, для решетки целых точек и лучевой функции

справедлива теорема Минковского о линейных однородных формах. Пусть ,

действительные числа,. Если

то найдутся целые числа не равные одновременно нулю и удовлетворяющие системе линейных неравенств

В Г. ч. изучаются последовательные минимумы лучевой функции в решетке. Пусть лучевая функция, решетка и пусть зафиксирован индекс i, ; последовательным минимумом функции Fв решетке наз. точная нижняя граница чисел , для к-рых множество содержит не менее г линейно независимых точек решетки . При этом

Справедлива оценка

Труднее оценить сверху величину

Для этого надо уметь вычислять или оценивать сверху величину

где точная верхняя граница берется по всем п-мер-ным решеткам . Величина наз. аномалией лучевой функции F, или аномалией множества . Имеет место неравенство Оценку сверху дает (см. [4], с. 254-57) следующая теорема. Пусть Fесть n-мерная лучевая функция с аномалией ; тогда

Построены примеры, показывающие, что эта оценка, вообще говоря, не улучшаема.

Если Fвыпуклая симметричная лучевая функция, то предполагается (гипотеза об аномалии выпуклого тела), что

Справедлива вторая теорема Минковского о выпуклом теле, уточняющая первую теорему. Если симметричная выпуклая лучевая функция и решетка, то

где выпуклое тело определяется условием

Понятие последовательных минимумов и основные относящиеся к ним результаты (исключая последнюю теорему) обобщаются со звездных тел на произвольные множества (см. [9], с.44-46).

Следующее предложение оценивает критнч. определитель данного множества сверху: для любого измеримого по Лебегу множества меры

при этом, если симметричное относительно О звездное тело, то

Все доказательства этой теоремы включают в себя то или иное усреднение нек-рой функции, заданной на пространстве решеток. Наиболее естественный вывод дает (см., напр., [12]) следующая теорема 3игеля о среднем. Пусть интегрируемая по Лебегу функция, заданная на n-мерном евклидовом пространстве , а инвариантная мера, заданная на пространстве решеток Л с определителем = 1; фундаментальная область этого пространства. Тогда

В отличие от оценки снизу (1), оценки (2) и (3) не являются окончательными (уточнение см. [13]).