Математическая энциклопедия - определитель

детерминант, квадратной матрицы А=||aij|| порядка пнад ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей 1 элемент кольца K, равный сумме всех членов вида

где i1, . . ., in перестановка чисел 1, . . ., п,a tчисло инверсий перестановки i1,..., in. О. матрицы обозначается

О. матрицы Асодержит п! членов; при n-1 det A =a11, при п=2det А=а 11 а 22-a2la12. Наиболее важные для приложений случаи: K поле (в частности, числовое поле), К - кольцо функций (в частности, кольцо многочленов), K кольцо целых чисел.

Всюду ниже Кассоциативно-коммутативное кольцо с 1, М п (К) - совокупность всех квадратных матриц порядка пнад K, Е п- единичная матрица над А. Пусть , а а 1, . . ., а п- строки матрицы А(все далее изложенное справедливо и для столбцов матрицы А). О. матрицы A удобно рассматривать как функцию от ее строк:

Отображение

подчинено следующим трем условиям:

1) d(A) - линейная функция любой строки матрицы А:

где l, ;

2) если матрица Вполучена из Азаметной строки а i строкой , , то ;

3)

Условия 1) 3) однозначно определяют отображение d, т. е. если отображение удовлетворяет условиям 1) 3), то h(A)=detА. Таким образом получается аксиоматич. построение теории О.

Пусть отображение удовлетворяет условию:

1 а) если Вполучается из матрицы Л умножением одной строки на ,то . Очевидно, В случае, когда Кполе, совокупность условий 1) 3) оказывается равносильной условиям 1 а), 2), 3).

О. диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Отсюда вытекает сюръективность отображения . О. треугольной матрицы также равен произведению ее диагональных

элементов. Для матрицы , где Ви Сквадратные матрицы,

Из свойств перестановок вытекает, что > где ^Т - знак транспонирования. Если матрица Аимеет две одинаковые строки, то ее определитель равен 0; если поменять местами две строки матрицы А, то ее О. изменит знак;

при ; для А и В из М п (К)

Таким образом, отображение dесть эпиморфизм мультипликативных полугрупп М п (К).и K.

Пусть есть (mx n) матрица, есть (nx m) матрица над K, а С=АВ. Тогда верна формула Вине-Коши:

Пусть , a Aij- алгебраич. дополнение элемента aij. Тогда верны формулы

где символ Кронекера. Для вычислений О. часто используются разложение его по элементам строки или столбца, т. е. формулы (1), теорема Лапласа (см. Алгебраическое дополнение).и преобразования матрицы А, не меняющие О. Для матрицы Аиз М п (К).тогда и только тогда существует обратная матрица А ^-1 в М п (К), когда в Кимеется элемент, обратный элементу del A . Следовательно, отображение

где GL ( п, К) - группа всех обратимых матриц в М п (К), т. е. полная линейная группа, а К*- группа обратимых элементов K, есть эпиморфизм этих групп. Квадратная матрица над полем обратима тогда и только тогда, когда ее О. отличен от нуля, n-мервые векторы a1..., а п над полем Fлинейно зависимы тогда и только тогда, когда

О. матрицы Апорядка n>1 над полем равен 1 тогда и только тогда, когда Аесть произведение элементарных матриц вида

где , a eij - матрица, единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции (i, j). Теория О. возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений:

где aij, bj- элементы нек-рого поля F. Если , где матрица системы (2), то эта система имеет единственное решение, вычисляемое по формулам Крамера (см. Крамера правило). В случае, когда система (2) задана над кольцом Ки det Аобратим в К, система также имеет единственное решение, определяемое теми же формулами Крамера.