Математическая энциклопедия - определяющие соотношения

универсальной алгебры G относительно системы ее порождающих элементов соотношения вида

между порождающими ( тце uj,vj- термы в сигнатуре рассматриваемой алгебры) такие, что все остальные соотношения этого вида являются следствиями данных и тождеств многообразия, в к-ром рассматривается алгебра G. Обычно, когда говорят о задании алгебры порождающими и О. с., имеют в виду факторалгебру свободной алгебры многообразия с теми же порождающими по конгруэнции, определяемой всеми парами (uj, vj), . В случае мультиоператорных групп (в частности, групп, алгебр, колец, модулей) вид О. с. упрощается: их можно записать либо как wj=0, либо как wj=1 (в группах).

О. с. выбираются неоднозначно даже при одной и той же системе порождающих. Напр., циклическая группа второго порядка с порождающим элементом аможет быть задана одним О. с. а ²=1, а также двумя О. с. a⁶=1 и а ⁴=1. Существуют специальные преобразования {преобразования Тице в группах, см. [2], и их аналоги в различных многообразиях алгебр), позволяющие по одному заданию алгебры порождающими и О. с. строить другие задания той же алгебры. При этом для конечно определенных групп (или алгебр), то есть задаваемых конечной системой образующих и конечной системой О. с., можно конечным числом преобразований Тице перейти от любого такого задания к любому другому ее (конечному) заданию порождающими и О. с. Если алгебра конечно порождена, то из любой системы ее порождающих можно выбрать конечную подсистему порождающих; если алгебра в нек-рой конечной системе порождающих задается конечным числом О. с., то в любой другой конечной системе порождающих из любой системы О. с. можно выбрать конечную подсистему О. с.

Изучение конечно определенных алгебр породило целый ряд проблем алгоритмического характера, таких, как проблема равенства (тождества), проблема изоморфизма и др. (см. Алгоритмическая проблема). Ряд результатов получен для алгебр с одним О. с. Напр., в группах с одним О. с. разрешима проблема равенства, описаны элементы конечного порядка, центр и все подгруппы с нетривиальными тождествами (см. также Групповое исчисление).

Лит.:[1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [3] Магнус, В., Каррас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974.

А. Л. Шмелъкин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985