Математическая энциклопедия - индекс

числа а по модулю тпоказатель ув сравнении a=g^g(mod m), где аи твзаимно просты, а gнекоторый фиксированный первообразный корень по модулю т. И. числа апо модулю тобозначается через g=indg а или, более кратко, у=ind а. Первообразные корни существуют только для модулей вида m=2, 4, р ^a, 2р^a, где р>2 простое число, и следовательно, только для таких модулей определено понятие И.

Если gпервообразный корень по модулю ти упробегает значения 0, 1, . . ., j(m)-1, где j(т).Эйлера функция, то g^g пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Следовательно, каждому числу а, взаимно простому с га, соответствует единственный индекс у такой, что Любой другой индекс g' числа аудовлетворяет сравнению g'=g mod j(т). Поэтому И. числа аобразуют класс вычетов по модулю j(m).

Понятие И. аналогично понятию логарифма и И. обладает рядом свойств логарифма, а именно:

где alb означает корень сравнения

bx=a(mod m).

Если m=2^ap1^a1 . . . p^assканоническое разложение произвольного натурального числа ти g1, ..., gsпервообразные корни по модулям р ^a11, . . ., p^ass соответственно, то для всякого а, взаимно простого с т, существуют целые числа g, g0, g1, ..., gs такие , что

Указанная система g,g0,g1, ..., ls наз. системой индексов числа апо модулю т. Каждому числу а, взаимно простому с т, соответствует единственная система индексов g, g0, g1, ..., gs такая, что

где i=1, 2, . . ., s, а с и с 0 определены следующим образом:

Всякая другая система g',g'0,g'1, ..., у'3 И. числа a удовлетворяет сравнениям

Понятие системы И. числа апо модулю тудобно для явного построения характеров мультипликативной группы приведенных классов вычетов по модулю т.

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985