Математическая энциклопедия - индекса формулы

соотношения между аналитич. и топологич. инвариантами операторов нек-рого класса. Именно, И. ф. устанавливают связь между аналитич. индексом линейного оператора

(L0, L1топологич. векторные пространства), определяемым формулой

и измеряющим таким образом "разность" между дефектными подпространствами D:его ядром Кеr D=D^-1(0) и его коядром Coker D = L1/D(L0), и топологич. индексом нек-рой топологич. характеристикой оператора Dи пространств L0, L1. Для общего эллиптического дифференциального оператора на замкнутом многообразии задача нахождения И. ф. поставлена в конце 50-х гг. 20 в. [1] и решена в 1963 (см. [2]), хотя частные виды И. ф. были известны и ранее: такова, напр., ГауссаБонне теорема и ее многомерные варианты. В дальнейшем был получен ряд обобщений И. ф. на объекты более сложной природы; в этих случаях вместо индекса целого числа могут фигурировать произвольные комплексные числа и даже функции. Элементарные формулы индекса. 1) Пусть Мдифференцируемая граница ограниченной области Аэллиптический псевдодифференциальный оператор, отображающий пространство дифференцируемых комшгекенозначных вектор-функций на Мсо значениями в С ^р в себя. Пусть В(М)многообразие касательных векторов к Мдлины ориентированное посредством 2n-формы

где х ¹, . .., х ^плокальные координаты . на М,x1, ..., xn соответствующие координаты в касательном пространстве, S(M)ориентированная граница В(М), образованная единичными касательными векторами. В силу эллиптичности Аего символ аявляется невырожденной (р р)-матричной функцией на S(M). Оказывается, что для индекса оператора Аимеет место формула [7]:

где внешняя степень матричной дифференциальной формы a^-1da, а через Тr обозначен след (р р)-матричной формы. В частности, если р<n или если Адифференциальный оператор на нечетномерном многообразии, то ind A = 0 (для псевдодифференциального оператора последнее, вообще говоря, неверно).

2) Пусть Аэллиптический дифференциальный оператор вида (здесь aмультииндекс)

в пространстве В 1, . . ., В т/2,краевые дифференциальные операторы из в вида

Набор операторов { А, В 1, . . ., B т/2}задает эллиптическую краевую задачу, если не вырождается на S(M)функция Здесь rjk коэффициенты полиномов являющихся остатками от деления l-полиномов bj(x, l) на l-полином а ⁺(x, l), где

а а ⁺ определяется из разложения а=а ⁺ а ^-, где

x, v единичные касательный вектор и внутренняя нормаль к Мсоответственно; а ⁺ (соответственно а ^-)l-полином, не имеющий нулей в верхней (соответственно, нижней) l-полуплоскости. Индексом описанной краевой задачи наз. индекс соответствующего ей линейного оператора из в переводящего в набор {Аи, В1u|M, . . ., В т/2 и|M}. Оказывается, что индекс эллиптической краевой задачи совпадает с индексом эллиптического псевдодифференциального оператора на М, символом к-рого служит матрица r=(rjk). В частности, индекс задачи Дирихле равен нулю. Имеются общие И. ф. для граничных задач [16], [17].

Формулы Атьи Зингера. Пусть и С°° (h).пространства бесконечно дифференцируемых сечений векторных расслоений x и h. над дифференцируемым замкнутым n-мерным многообразием М, D(псевдодифференциальный) эллиптич. оператор, действующий из в Топологич. индекс it(D)оператора Dопределяется следующим образом. Вследствие эллиптичности символ s(D). оператора Dопределяет изоморфизм поднятий векторных расслоений на S(M):

где p :расслоение единичных сфер кокасательного расслоения Т*М многообразия М. Пусть В(М)пространство расслоения единичных шаров в Т*М, это 2n-мерное многообразие с краем S(M). Склейкой двух экземпляров В ⁺ (М)и В~ (М)многообразия В(М)по их общей границе получается замкнутое 2n-мерное многообразие е(М) = В ⁺US(M)B^- , над к-рым строится векторное расслоение

где a s(D). использовано для отождествления x и h вдоль S(M). Это векторное расслоение V(s). несет всю топологич. информацию, нужную для определения топологич. индекса. Именно:

где ch V(s)когомологический Чжэня характер расслоения V(s).когомологический Тодда класс комплексифицированного кокасательного расслоения

и справа стоит значение 2n-мерной компоненты элемента ch на фундаментальном цикле многообразия [е(М)]. Таким образом, отображение V(s(D))->it(D). определяет гомоморфизм тривиальный на образе К(М), здесь К(Х) Гротендика группа, порожденная комплексными векторными расслоениями над X.

Теорема об индексе Атьи Зингера:

Формула (2) допускает ряд модификаций. Вводится следующим образом зависящий от символа a(D)рациональный класс когомологий ch [s(D)]:тройке {p*(x), p* (h), s(D)}сопоставляется различающий элемент, к-рый можно рассматривать как первое препятствие к распространению изоморфизма а на все В(М),

где ТМкасательное расслоение, к-рое (с помощью римановой метрики на М)можно отождествить с Т*М, K{B/S)относительная группа Гротендика векторных расслоений над B/S, и следовательно характер Чжэня Теперь формула для топологич. индекса Dпринимает вид:

где л :

Тома изоморфизм

позволяет записать (4) в виде

(в (4) и (5) справа по-прежнему, как и в (2), значения соответствующих элементов на фундаментальных циклах.)

В терминах K-теории топологич. индекс выражается следующим образом. Пусть i:дифференцируемое вложение М в евклидово пространство, Wтрубчатая окрестность Мв Е, к-рую можно рассматривать как действительное векторное расслоение над М, причем TW изоморфно (над R) комплексификации расслоения W, поднятой на ТМ проекцией я : Композиция изоморфизма Тома с естественным гомоморфизмом индуцированным вложением определяет гомоморфизм i! : Пусть b: -изоморфизм периодичности Ботта. Тогда гомоморфизм boi!, :не зависит от вложения, и

Примеры. 3) Пусть Мзамкнутое ориентированное риманово многообразие, расслоение комплексных дифференциальных k-форм над М,

оператор внешнего дифференцирования и его сопряженный, соответственно.Оператор где эллиптичен, для него справедлива И. ф. ('6), причем топологич. индекс равен эйлеровой характеристикеc(М). (Ходжа де Рама теорема). При dim M=2 получается теорема Гаусса Бонне.

4) Пусть собственные -пространства инволюции I(a)=i^p(p-1)+k*a,где * есть оператор двойственности, определяемой метрикой на М, dim M=2k. Сужение оператора d+d* до оператора из в называемое сигнатурным оператором dMэллиптический оператор, для него справедлива ,И. ф. (3), причем аналитич. индекс равен сигнатуре многообразия М, а топологич. индекс равен L-роду (теорема Хирцебруха).

5) Пусть h голоморфное векторное расслоение над компактным комплексным многообразием М, x^0,q расслоение дифференциальных форм типа (0, q), расслоение форм типа (0, q)с коэффициентами в h, z^0,q С-модуль гладких сечений этого расслоения. Пусть оператор Коши Римана Дольбо, его сопряженный, Тогда оператор является эллиптическим, и для него справедливо (3), причем аналитич. индекс равен эйлеровой характеристике М с коэффициентами в пучке ростков голоморфных сечений расслоения h, а топологический индекс где ch h характер Чжэня расслоения h,класс Тодда касательного расслоения к М(теорема Римана Роха Хирцебруха).

Эллиптические комплексы. В более общей ситуации, естественно возникающей, напр., в дифференциальной геометрии, вместо одного оператора Dрассматривается комплекс (псевдодифференциальных) операторов

где xj дифференцируемые векторные расслоения над замкнутым многообразием М, Dj+1Dj = 0. Символом комплекса Аназ. соответствующая последовательность главных символов

где p* (xj) поднятие расслоений xj на S(M)с помощью проекции я : Комплекс Аназ. эллиптическим, если его символ является ациклическим комплексом, т. е. точен всюду вне нулевого сечения. Аналитическим индексом комплекса A наз. его эйлерова характеристика:

где Hi (А)группы когомологий комплекса А. Двумя важными примерами эллиптич. комплексов являются комплекс де Рама и его комплексный аналог комплекс Дольбо. Проблема вычисления c(А)через класс комплекса s(А)в К( ТМ )может быть сведена к вычислению индекса для однако оператора [3].