Математическая энциклопедия - характер

представления группы G в случае конечномерного представления функция на группе G,определяемая формулой

Для произвольных непрерывных представлений топологич. группы G над полем С это определение обобщается следующим образом:

где линейный функционал, определенный на нек-ром идеале I в алгебре А, порожденной семейством операторов и инвариантный относительно внутренних автоморфизмов алгебры А;в нек-рых случаях X. представления наз. X. представления нек-рой групповой алгебры группы G, определенного представлением (см. Характер представления ассоциативной алгебры).

X. прямой суммы (тензорного произведения) конечномерных представлений равен сумме (произведению) X. этих представлений. X. конечномерного представления группы является функцией, постоянной на классах сопряженных элементов; X. непрерывного конечномерного унитарного представления группы есть непрерывная положительно определенная функция на группе.

Во многих случаях X. представления группы определяет представление однозначно с точностью до эквивалентности; напр., X. неприводимого конечномерного представления над полем характеристики 0 определяет представление однозначно с точностью до пространственной эквивалентности; X. конечномерного непрерывного унитарного представления компактной группы с точностью до унитарной эквивалентности. X. представления локально компактной группы G, допускающего продолжение до представления алгебры непрерывных финитных функций на G, может определяться мерой на G; в частности, X. регулярного представления унимодулярной группы задается точечной вероятностной мерой, сосредоточенной в единичном элементе группы G. X. представления группы Ли G, допускающего продолжение до представления алгебры финитных бесконечно дифференцируемых функций на G, может определяться обобщенной функцией на G. Если G нильпотентная или линейная полупростая группа Ли, то X. неприводимых унитарных представлении группы G определяются локально интегрируемыми функциями по формуле

эти X. определяют представления однозначно с точностью до унитарной эквивалентности.

Если группа G компактна, то любая непрерывная положительно определенная функция на G, постоянная на классах сопряженных элементов, разлагается в ряд по X. неприводимых представлений группы G, сходящийся равномерно на G; эти X. образуют ортонормированную систему в пространстве L² (G), полную в подпространстве функций из L² (G), постоянных на классах сопряженных элементов в G. Если разложение X. непрерывного конечномерного представления р группы G по X. то целые числа, являющиеся кратностями, с к-рыми входят в Если -непрерывное представление группы G в квазиполном бочечно локально выпуклом топологич. пространстве Е, то существует максимальное подпространство в Етакое, что ограничение представления на кратно представлению и существует непрерывный проектор пространства Ена подпространство определяемый равенством

где dg- такая мера Хаара на G, что

Лит.:[1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [2] Кэртиc Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; [4] Фробениус Г., Теория характеров и представлений групп, пер. с нем., Хар., 1937; [5] Наймарк М. А., Теория представления групп, М., 1978; [6] Littlewood D., The theory of group characters, 2 ed., Oxf., 1950.

А. И. Штерн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985