Математическая энциклопедия - харди вариация

одна из числовых характеристик функции нескольких переменных. Пусть функция f(x) = f(x1, ..., х п), п= 2, 3, ..., задана на n-мерном параллелепипеде

и

Пусть, далее, П произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

на n-мерные параллелепипеды и -класс всех функций f(х), для к-рых

Пусть, теперь целочисленный вектор, координаты к-poro удовлетворяют неравенствам и целочисленный вектор размерности п-s такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел 1, ..., п, к-рые не содержатся среди Тогда каждую точку можно записать в виде Если координаты точки фиксированы на значениях то будем писать Вариация Харди функции f(х)на Dn:

Если то говорят, что функция f(х) имеет ограниченную (конечную) X. в. на параллелепипеде Dn, а класс всех таких функций обозначается Н(Dn). Этот класс при n = 2 был введен Г. Харди [1] (см. также [2]) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции f(х 1,x2 )класса имеющей период 2p по каждой переменной, сходятся в каждой точке (х 1,x2) к числу

где

Для того чтобы функция f(х)входила в класс H(Dn), необходимо н достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f(x) = f1(x)-f2(x). где f1 и f2 такие конечные на Dn функции, что k= 2, ..., п, при всех и допустимых приращениях h1, ..., h п. Класс Н(Dn )содержится в классе (Dn )функций, имеющих ограниченную Арцела вариацию на Dn.

Лит.:[1] Hardy G. Н., лQuart. J. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985