Математическая энциклопедия - вывод

логический формальный вывод в исчислении, содержащем логические правила и имеющем в качестве основных выводимых объектов формулы (интерпретацией к-рых являются суждения;см. Логические исчисления. Логико-математические исчисления). Поскольку обычно такие исчисления снабжаются семантикой, то в некоторых случаях под логическим В. понимают содержательное рассуждение, позволяющее от сформулированных аксиом и гипотез (допущений) переходить к новым утверждениям, логически вытекающим из исходных.

При зафиксированных аксиомах и правилах логических переходов (см. Вывода правило).говорят, что последовательность формул является выводом (своего последнего члена А).из гипотез , если каждый член последовательности либо является аксиомой или одной из гипотез, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из правил. Это записывается в виде при этом формула Аназ. выводимой из A1,..., An. В случае n=0 запись означает, что Авыводимо в рассматриваемом исчислении без к.-л. допущений; применяется также запись означающая, что "допущения ведут к противоречию" (в большинстве изучавшихся систем влечет выводимость из этих гипотез любой формулы). Напр., в исчислении, содержащем аксиому и правило модус поненс, последовательность является выводом из Свойствами логической выводимости являются: если если если (здесь Аи В - формулы, Г и Г'списки формул, формула или пустое слово). Эти свойства позволяют существенно преобразовывать списки гипотез и, наряду с правилами введения и удаления логических символов (см. Выводимое правило), сближают системы со знаком с Генцена формальными системами. Для исчислений, основанных на классич. логике, характерно свойство . Для, интуиционистской логики (конструктивной логики) в широких предположениях удается доказывать принципы брауэровского понимания выводимости: 1) если , то имеет место одна из вы-водимостей или ; 2) если , то, для некоторого терма t,. (упомянутые предположения во всяком случае выполнены при пустом Г). Возможности избавления от допущений, включая переход к выводам без гипотез, регулируются дедукции теоремой.

Формирование понятия В. (и систем, в терминах к-рых это понятие получает смысл) знаменовало собой возникновение современной математич. логики. Новое, более строгое понимание аксиоматич. метода, при к-ром формализации подлежат не только аксиомы, но и логические средства, открыло возможность математич. определения понятия доказательства и изучения доказательств математнч. методами (см. Доказательств теория). Поня-. тие формального В. оказалось хорошим приближением к понятию математич. истины (см. Гёделя теорема о полноте, Гёделя теорема о неполноте). Искусственная формализация понятия логической выводимости в дальнейшем существенно сблизилась с реальными способами содержательного математич. рассуждения (см. Естественный логический вывод).

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Математическая теория логического вывода, сб. переводов, М., 1967. С. Ю. Маслов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985