Математическая энциклопедия - геодезическая кривизна

в точке кривой на поверхности скорость вращения касательной к вокруг нормали к , т. е. проекция на вектора угловой скорости вращения касательной при движении вдоль . Предполагается, что и регулярны и ориентированы, скорость берется относительно длины вдоль . Г. к. может быть определена как кривизна проекции на касательную плоскость к Fв рассматриваемой точке. Г. к. равна

где штрих означает дифференцирование по t.

Г. к. входит в выражение вариации длины при варьировании на . При закрепленных концах:

вектор вариации кривой. Кривые, на к-рых геодезические линии.

Интегральной Г. к., или поворотом кривой , наз. интеграл

Связь поворота замкнутого контура с интегральной кривизной охваченной им области на поверхности дает Гаусса Бонне теорема.

Г. к. принадлежит внутренней геометрии поверхности и допускает выражение через метрич. тензор и производные внутренних координат поверхности по параметру tкривой. Если внутренняя геометрия ри-манова пространства изучается в отвлечении от возможных погружений, то Г. к. остается единственной кривизной кривой и слово "геодезическая" опускается. При рассмотрении кривых в подмногообразии риманова пространства кривизна кривой может определяться во внешнем пространстве и в подмногообразии, подобно тому, как на поверхности кривая имеет обычную кривизну и Г. к.

Можно ввести понятие Г. к. для кривой у на общей выпуклой поверхности. Если кривая g. имеет длину и каждая ее дуга имеет определенный поворот, то правой (левой) Г. к. кривой g. в точке x наз. предел отношения правого (левого) поворота дуги кривой к ее длине, при условии, что дуга стягивается в точку х.

В финслеровом пространстве определяют два понятия Г. к., различающиеся способом измерения длины вектора, заменяющего v. На геодезических эти Г. к. равны нулю. Ю, C. Слобовян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985