Математическая энциклопедия - кривизна

собирательное название ряда количественных характеристик (численных, векторных, тензорных), описывающих отклонение свойств того или иного объекта (кривой, поверхности, риманова пространства и др.) от соответствующих объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и др.), к-рые считаются плоскими. Обычно понятия К. вводятся локально, то есть в лаждой точке. Эти понятия К. связаны с рассмотрением отклонений 2-го порядка малости, поэтому предполагается задание изучаемого объекта С ²- гладкими функциями. В ряде случаев вводят интегральные понятия, к-рые сохраняются и при отказе от С ² -гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль К. во всех точках приводит к совпадению (на малых участках, но не в целом) изучаемого объекта с "плоским" объектом.

Кривизна кривой. Пусть g регулярная кривая в n-мерном евклидовом пространстве, параметризованная натуральным параметром t. Пусть далее соответственно угол между касательными к кривой g в точках Ри Р 1 этой кривой и длина дуги кривой между Ри Р 1. Тогда предел

наз. кривизне и кривой g в точке Р. К. кривой g равна модулю вектора а направление этого вектора совпадает с направлением главной нормали кривой. Для того чтобы кривая g совпадала с нек-рым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы К. кривой kтождественно равнялась нулю.

Кривизна поверхности. Пусть Ф регулярная поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Пусть Р - точка касательная плоскость к Ф в точке нормаль к Ф в точке P,a плоскость, проходящая через пи нек-рый единичный вектор Кривая , получающаяся при пересечении плоскости а и поверхности Ф, наз. нормальным сечением поверхности Ф в точке Рвнаправлении l. Величина

где t - натуральный параметр на кривой g, наз. нормальной кривизной поверхности Ф в направлении l. С точностью до знака нормальная К. равна К. кривой

В касательной плоскости Тр существуют два перпендикулярных направления такие, что нормальную К. в произвольном направлении можно представить с помощью так наз. формулы Эйлера:

где угол между l1 и l2. Величины k1 и k2, являющиеся нормальными К. в направлениях l1 и l2, наз. главными кривизнами, а направления l1 и l2 главными направлениями поверхности. Главные К. являются экстремальными значениями нормальных К. Структуру нормальных К. в данной точке поверхности удобно графически изображать следующим образом. При уравнение

где r(l) - радиус-вектор, задает в касательной плоскости Тр нек-рую кривую 2-го порядка, к-рая наз. индикатрисой Дюпена. Индикатриса Дюпена может быть одной из следующих трех кривых: эллипсом, гиперболой или парой параллельных прямых. Соответственно этому точки поверхности подразделяются на эллиптические, гиперболические и параболические. В эллиптич. точке 2-я квадратичная форма поверхности знакоопределенна, в гиперболической точке знаконеопроделенна, а в параболич. точке вырождена. В случае, если все нормальные К. в точке равны нулю, точка наз. точкой уплощения. Если индикатриса Дюпена является кругом, то такую эллиптич. точку наз. шаровой (или омбилической) точкой.

Главные направления определены однозначно (с точностью до перенумерации) в том случае, если точка не является шаровой точкой или точкой уплощения. В этих случаях любое направление является главным. Имеет место теорема Родрига, в силу к-рой необходимым и достаточным условием того, что направление l - главное, является выполнение условия

где r радиус-вектор поверхности, п - вектор единичной нормали. Линия на поверхности наз. л и н и е й к р и в и з н ы, если ее направление в каждой точке является главным. В окрестности каждой точки Рповерхности, к-рая не является шаровой точкой пли точкой уплощения, поверхность можно параметризировать так, что ее координатные линии будут линиями К. Величина

наз. средней кривизной поверхности. Величина

наз. гауссовой (или полной) кривизной поверхности. Гауссова К. является объектом внутренней геометрии поверхностей, т. е. может быть выражена только через 1-ю квадратичную форму:

где Е, F, G - коэффициенты 1-й квадратичной формы поверхности.

С помощью формулы (1) гауссова К. вводится для абстрактного двумерного риманова многообразия с линейным элементом Для того чтобы поверхность была локально изометрична плоскости, необходимо и достаточно, чтобы ее гауссова К. была тождественно равна нулю.

Кривизна риманова пространства. Пусть М ⁿ - регулярное n-мерное риманово пространство, ВМ ⁿ - пространство регулярных векторных полей на М ⁿ. К. риманова пространства М ^п обычно характеризуют с помощью Римана тензора, т. е. полилинейного отображения

к-рое задано соотношением

где связность Леви-Чивита на скобка Ли. Если в нек-рой локальной системе координат положить то формуле (2) можно придать следующий вид:

где ; знак ковариантной производной.

Таким образом, тензор Римана является количественной характеристикой некоммутативности вторых ковариантных производных в римановом пространстве. С помощью тензора Римана количественно описывается и ряд других свойств римановых пространств, отличающих их от евклидовых.

Коэффициенты тензора Римана в локальной системе координат х ⁱ могут быть выражены через символы Кристоффеля и коэффициенты метрич. тензора следующим образом:

где тензор Римана с опущенным индексом, или в бескоординатных обозначениях отображение знак скалярного произведения).

Тензор Римана имеет следующие свойства симметрии:

к-рые в локальных координатах можно записать в виде

Тензор Римана имеет алгебраически независимых компонент. Справедливо так наз. тождество Бьянки для ковариантных производных тензора Римана

где ковариантная производная по X. В локальных координатах это тождество имеет вид

Иногда тензор Римана определяют с обратным знаком. Необходимым и достаточным условием локальной изометричности риманова пространства евклидову является равенство нулю его тензора Римана. Используют и иной, эквивалентный подход к описанию свойств К. риманова пространства Пусть s - двумерное линейное пространство касательного пространства в точке Р. Тогда секционной кривизной в точке Рв направлении о наз. величина

где Vи W - векторы, определяющие а. Одна и та же площадка s может определяться разными векторами V и W, однако не зависит от выбора различных векторов, определяющих одну и ту же площадку. Для двумерного риманова пространства секционная К. совпадает с гауссовой К. Тензор Римана может быть восстановлен по секционным кривизнам следующим образом:

Используют и менее детальные характеристики К. риманова пространства тензор Риччи:

и скалярную кривизну, или кривизну Р и ч ч и:

Тензор Риччи симметричен:

Иногда для характеристики К. употребляют и более сложные, в частности квадратичные, конструкции, построенные из тензора Римана. Одним из наиболее употребительных инвариантов такого рода является инвариант

используемый при изучении поля тяготения Шварцшильда. Для двумерного пространства тензор Римана имеет вид

где К - Гауссова К. В этом случае кривизна Риччи равна К. Для трехмерного пространства тензор Римана имеет вид

где метрический тензор, тензор Риччи, R - кривизна Риччи.

В том случае, если секционные К. не зависят ни от точки, ни от двумерного направления, пространство М ⁿ наз. пространством постоянной кривизны; тензор Римана такого пространства имеет вид (3) (константа Кназ. кривизной пространства М ^п). При n>2 оказывается, что если во всех точках К. не зависят от направления, то пространство М ^п является пространством постоянной К. (теорема Шура).

Кривизна подмногообразий. Пусть Ф регулярная поверхность в кривая на Ф, касательная плоскость кФ в точке Р, через к-рую проходит кривая g. Пусть малая окрестность точки Р проектируется на плоскость и пусть проекция кривой g на плоскость Геодезической кривизной кривой g в точке Рназ. число, равное по модулю К. кривой g в точке Р. Геодезическая К. считается положительной, если вращение касательной кривой при прохождении точки Робразует с направлением нормали к поверхности правый винт. Геодезическая К. является объектом внутренней геометрии поверхности Ф. Геодезическая К. может быть вычислена по формуле