Математическая энциклопедия - криволинейный интеграл

интеграл по кривой. Пусть в тг-мерном евклидовом пространстве задана спрямляемая кривая длина дуги и на кривой g задана функция F=F(x(s)). К. и.

определяется равенством

(справа интеграл по отрезку) и наз. криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги. Он является пределом соответствующих интегральных сумм, к-рые могут быть описаны в терминах, связанных с кривой. Напр., если функция F(x(s)).интегрируема по Риману (см. Римана интеграл), - разбиение отрезка его мелкость, длина части кривой g от точки x(si-1). до точки и

то

Если спрямляемая кривая g задана параметрическим представлением , и на ней задана функция F=F(x(t)), то интеграл

определяется равенством

(справа Стилтъеса интеграл).и наз. к р и в о л и-нейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х k. Он также является пределом соответствующих интегральных сумм: если разбиение отрезка и

то

Если F - непрерывная на спрямляемой кривой функция, то К. и. (1) и (2) всегда существуют. Если Аначало, а Вконец кривой g, то К. и. (1) и (2) обозначаются также через

К. и. первого рода не зависит от ориентации кривой:

а К. и. второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой:

Если g непрерывно дифференцируемая кривая, ее непрерывно дифференцируемое представление, и F - непрерывная на g функция, то

и тем самым интегралы, стоящие в правой части этих равенств, не зависят от выбора параметра на кривой g. Если единичный касательный вектор к кривой g, то К. н. второго рода выражается через К. и. первого рода по формуле

Если кривая g задана векторным представлением векторная функция, определенная на g, то, по определению,

Связь между К. и. и интегралами других видов устанавливается Грина формулой и Стокса формулой.

С помощью К. и. можно вычислять площади плоских областей: если конечная плоская область Gограничена спрямляемым простым контуром g, то ее площадь равна

где контур g ориентирован против часовой стрелки. Если вдоль кривой g распределена нек-рая масса Мс линейной плотностьюr(x) , то

Если F(х) - напряженность силового поля (т. е. сила, действующая на единицу массы), тогда

равен работе силового поля вдоль кривой Y при перемещении вдоль g единичной массы. К. и. используются в теории векторных полей. Если непрерывное векторное поле определено на нек-рой л-мерной области G, n>1, то следующие три свойства эквивалентны.

1) Для любой замкнутой спрямляемой кривой справедливо равенство (векторное поле, обладающее этим свойством, наз. потенциальным).

2) Для любой пары точек и для любых двух спрямляемых кривых с началом в точко Аи концом в точке В:

3) В области Gсуществует такая функция и(х).(называемая потенциальной функцией векторного поля а(х)), что т. е. при этом для любых и любой кривой

Если n=2 или n=3 и область Gодносвязна при n=2 и поверхностно односвязна при п=3, а поле непрерывно дифференцируемо, то свойства 1) 3) эквивалентны следующему свойству.

4) Вихрь векторного поля в области G равен нулю:

Если условие односвязности области G не выполнено, то свойство 4) не эквивалентно, вообще говоря, свойствам 1) 3). Напр., для поля

определенного на плоскости с выброшенным началом координат, имеем но

Лит.:[1] Ильин В. А., П о з н я к Э.