Математическая энциклопедия - крипке модели

структуры, состоящие из нек-рого множества обычных моделей для классической логики, упорядоченных между собой нек-рым отношением, н служащие для интерпретации в них различных неклассических логик (интуипионистской, модальных и др.). Точнее, К. м. для языка Lимеют вид

где Sнекоторое непустое множество ("миров", "ситуаций"); R - некоторое бинарное отношение на S(напр., для системы J интуиционистской логики R является частичным порядком, для модальной системы 54 предпорядком, для системы S5 - отношением эквивалентности); отображение Dсопоставляет каждому _ нек-рую непустую область Da. так, что если то оценка Wсопоставляет всякой индивидной константе аэлемент всякой индивидной переменной хэлемент , для каждого всякой пропозициональной переменной р - истинностное значение (для системы J требуется также, чтобы если то ), всякой n-местной предикатной константе Рнекоторое подмножество [для системы J, если то ], всякой n-местной функциональной константе f функцию [для системы /, если то есть ограничение ].

Для всяких и формулы Аязыка Lтакой, что для любой свободной переменной хв А индуктивно определяется истинностное значение . Для системы Jзначение определяется следующим образом:

а) если А - элементарная формула, то значение уже задано моделью;

г) (для всякого если и

д) (для всякого если то

е) (для всяких и если

ж) (существует такое, что (здесь означает, что оценка W' совпадает с Wвсюду, кроме, быть может, на х). Иногда вместо пишут

Для модальных логик определение в случаях (г), (д) и (ж) происходит иначе:

(для всякого если

кроме того, добавляется

з) (для всякого если то

Формула Аназ. истинной в К. м. K=(S, R, D, W).(пишут ), если для всякого Для каждой из систем J, 54, 55 справедлива теорема о полноте: всякая формула выводима в этой системе тогда и только тогда, когда она истинна во всех К. м. из соответствующего класса. Существенно, что области являются, вообще говоря, различными, поскольку формула

где хне входит свободно в А, не выводима в системе J, но истинна во всех К. м. с постоянной областью. Система, полученная из J добавлением схемы (*), полна относительно К. м. с постоянной областью (см. [4]). Пропозициональный фрагмент каждой из систем J, S4, S5 является финитно аппроксимируемым, т. е. всякая невыводимая в нем формула опровержима на нек-рой конечной К. м. из соответствующего класса. Понятие "К. м." родственно понятию вынуждения (см. Вынуждения метод). К. м. введены С. А. Крипке (S. A. Kripke).

Лит.:[1] Крипке С. А., Семантический анализ модальной логики, в кн.: Ф е й с Р., Модальная логика, пер. с англ., М., 1974, с. 254-323; [2] Шютте К., Полные системы модальной и интуиционистской логики, там же, с. 324-421; [3] G о r d е r m a n n S., "J. Symb. Logic", 1971, v. 36, p. 249-61; [4] К о э н II о л Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969. С. К. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985