Математическая энциклопедия - критическая точка

1) К. т. порядка та такая точка акомплексной плоскости, в к-рой аналитич. функция f(z) регулярна, а ее производная f'(z) имеет нуль порядка m, где т - натуральное число. Иными словами, К. т. определяется условиями:

Бесконечно удаленная К. т. порядка тдля функции f(z), регулярной в бесконечности, определяется условиями:

При аналитическом отображении w=f(z).угол между двумя кривыми, выходящими из К. т. порядка та, увеличивается в m+1 раз. Если функция f(z) рассматривается как комплексный потенциал нек-рого плоского течения несжимаемой жидкости, то К. т. характерна тем, что через нее проходит не одна, a m+1 линий тока, причем скорость течения в К. т. обращается в нуль. Для обратной функции такой, что К. т. аявляется алгебраич. точкой ветвления порядка m+1.

2) Точка акомплексного ( п- го)-мерного неприводимого аналитического множества

заданного в окрестности Vточки акомплексного пространства С" условиями где голоморфные на Vфункции n комплексных переменных, наз. К. т., если ранг матрицы Якоби . . . , т; k=1, ... , n, меньше числа т. Прочие точки Мназ. правильными. К. т. на Мсравнительно мало они образуют аналитическое множество комплексной размерности не выше п-т-1. В частности, при m=1, т. е. если } и размерность Мравна п-1, размерность множества К. т. но выше n-2.

Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [2] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

3) К. т. г л а д к о г о (т. е. непрерывно дифференцируемого) отображения f k-м е р н о г о дифференцируемого многообразия Мв l-м ерное дифференцируемое многообразие N - такая точка что ранг отображения f в этой точке (т. е. размерность образа касательного пространства к Мпод действием дифференциала ) меньше I. Совокупность всех К. т. наз. критическим множеством, образ f(x0).К. т. жДк р и т и ч е с к и м з н а ч е н и е м, а точка не являющаяся образом никакой К. т.,регулярной т о ч к о й, или регулярным значением (хотя она может вообще не принадлежать образу f(M});некритические точки из Мтоже наз. регулярными.

Согласно теореме Сарда, если f имеет класс гладкости то образ критического множества имеет первую категорию в N(т. е. является объединением не более чем счетной системы нигде не плотных множеств) и имеет Z-мерную меру нуль (см. [1], [2]). Условие на тне может быть ослаблено [3]. Чаще всего бывает нужен случай (при этом доказательство упрощается, см. [4]). Эта теорема широко используется для приведения в общее положение посредством "малых шевелений"; напр., с ее помощью легко доказать, что если в имеются два гладких подмногообразия, то сколь угодно малым сдвигом одного из них можно достичь, чтобы их пересечение тоже было подмногообразием (см. [2], [4], а также Трансверсальность отображений).

Согласно приведенному определению, при k<l каждую точку надо считать критической. Но при этом существенно различаются свойства тех точек х 0, для к-рых и тех, для к-рых В первом случае в нек-рой окрестности точки хД отображение f выглядит приблизительно как стандартное вложение точнее, имеются такие локальные координаты вблизи х 0 (на М) и вблизи f (х 0) (на N), что в этих координатах f представляется в виде

Во втором случае образ окрестности точки х п может не быть многообразием, а иметь различные особенности заострения, самопересечения и т. д. Поэтому определение К. т. часто модифицируют, понимая под К. т. те точки х 0, для которых соответственно модифицируется и смысл других приведенных выше терминов [5].

Поведение отображений в окрестности К. т. изучается в теории особенностей дифференцируемых отображений (см. [5], [6]). При этом рассматриваются не произвольные К. т. (о к-рых мало что можно сказать), а К. т., удовлетворяющие условиям "не слишком сильной вырожденности" и "типичности". Так, рассматриваются К. т. достаточно гладких отображений или семейств отображений (достаточно гладко зависящих от конечного числа параметров), являющиеся "неустранимыми" в том смысле, что при малом (в смысле С ^т с подходящим то) возмущении исходного отображения или семейства у возмущенного отображения (семейства) в нек-рой окрестности исходной К. т. имеется К. т. того же типа. Для отображения (т. е. обычной скалярной функции; в этом случае К. т. часто наз. стационарными точками) типичными в указанном смысле являются так наз. невырожденные К. т., в к-рых гессиан -, невырожденная квадратичная форма. О типичных К. т. для семейства функций см. [6], [7].

Лит.:[1] Sard A., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1942, v. 48, p. 883-90; L2] С т е р и б е р г С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [3] W h i t n e у Н., "Duke Math. J.", 1935, v. 1, №4, p. 514-17; [4] M и л н о р Д ж., Топология с дифференциальной точни зрения, в кн.: М и л н о р Д ж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; [5] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; [В] Б р ё к е р Т., Л а н д е р Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; [7] Арнольд В. И., "Функцией, анализ и его прилож.", 1972, т. б, № 4, с. 3-25. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985