Математическая энциклопедия - дифференцирование

кольца отображение дкольца Rв себя, (-являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть Млевый R-модуль. Дифференцированиемкольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп, удовлетворяющий условию

для всех х, у из Л. Для любого элемента с из центра Скольца Л отображение где д - дифференцирование, является Д. Сумма двух дифференцирований также является Д. Это определяет на множестве всех Д. кольца Л со значениями в Мструктуру С-модуля, обозначаемого Der(R, М). Если Sподкольцо в Л, то Д. дтакое, что д(s) = 0 для всех наз. S-дифференцированием. Множество всех S-дифференцирований образует подмодуль в Der(Л, М), обозначаемый Ders (Л, М). Операция

определяет в S-модуле DerS (Л, М)структуру S-алгебры Ли. Если j:.гомоморфизм R-модулей, то для любого композиция Der(R, M).

Пусть R кольцо полиномов А[ Т 1,..., Т п]с коэффициентами в коммутативном кольце А. Отображение

является А-дифференцированием кольца R, а R-модуль DerA(R, R) свободным модулем с базисом д/дТ 1, ...,д/дТ n.

Для любого элемента аассоциативного (соответственно лиева) кольца R отображение (соответственно ) будет Д. кольца R, наз. внутренним дифференцированием. Д., не являющееся внутренним, наз. внешним.

Если Rподкольцо кольца R' и то говорят, что продолжает д, когда ограничение на R совпадает с д. В случае, когда Rкоммутативное целостное кольцо, а R'его поле частных, а также в случаях, когда R'сепарабельное алгебраич. расширение поля R или R алгебра Ли над полем k, а R'ее обертывающая алгебра, существует единственное продолжение любого Д. д: на Л'.

Имеется тесная связь между Д. и изоморфизмами колец. Напр., если днильпотентное Д., т. е. д ^п=0, и R алгебра над полем характеристики нуль, то отображение

является автоморфизмом k-алгебры R. Если R локальное коммутативное кольцо с максимальным идеалом m, то имеет место биекция между множеством Д. Der(R, R/m) и множеством автоморфизмов кольца R/m², индуцирующих тождественный автоморфизм поля вычетов R/m. Д. несепарабельных расширений полей играют роль элементов группы Галуа сепарабельных расширений в теории Галуа таких расширений [4].

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; [3] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Моrdesоn J., Vinograde В., Structure of arbitrary purely inseparable extension fields, В., 1970.

И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985