Математическая энциклопедия - дифференциальное уравнение абстрактное

дифференциальное уравнение в том или ином абстрактном пространстве (гильбертовом, банаховом и т. п.) или дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами. Классическим и наиболее часто встречающимся Д. у. а. является уравнение где неизвестная функция u= u(t)принадлежит нек-рому функциональному пространству X, и оператор (как правило линейный), действующий в этом пространстве. Если оператор Аограничен и постоянен (не зависит от t), то формула

дает единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию u(0)=u0. Для переменного A(t). оператор е ^(t-t)A заменяется эволюционным оператором u(t,x). В случае неограниченного оператора Арешения задачи Коши u(0)=u0 могут: не существовать при нек-рых u0, быть не единственными, обрываться при t<T. Исчерпывающее изучение однородного (/=0) уравнения (1) с постоянным оператором дается теорией полугрупп, а вопросы существования и единственности решаются в терминах свойств резольвенты А(см. [1], [5]). Этот же метод применим и для переменного оператора при условиях его гладкой зависимости от t (см. [5]). Другим методом изучения уравнения (1), дающим, как правило, более грубые результаты, но применимым к более широким классам уравнений (в некоторых случаях даже к нелинейным), является использование энергетич. неравенств: получаемых также за счет тех или иных предположений относительно А. Для гильбертова пространства Xпостулируются, как правило, различные свойства положительности скалярного произведения ( А и, и )(см. [2]). Все сказанное в значительной степени распространяется и на более общее Д. у. а.

рассматриваемое при условиях и(0)=u0, u't(0) =u1. Зачастую, изучение уравнения (2) тем или иным приемом (сведением к системе уравнений 1-го порядка, заменой расщеплением левой части на произведение двух операторов 1-го порядка и т. п.) сводится к изучению уравнения (1). Основным источником интереса к Д. у. а. является возможность сведения к уравнениям вида (1) или (2) так наз. смешанных задач в цилиндрич. областях для классических параболич. и гиперболич. уравнений 2-го порядка: функция u(t, x1, ..., х n )рассматривается как функция tсо значениями в соответствующем пространстве функций от х, а дифференцирования по х, вместе с граничными условиями на боковых поверхностях цилиндра (образующие к-рого параллельны оси t), порождают операторы А, А k. Уравнения (1), (2), в к-рых постулируемые свойства операторов А, А k совпадают с получающимися в описанной выше ситуации, наз. абстрактными параболическими или гиперболическими. Реже рассматриваются абстрактные эллиптич. операторы. Часто формулируются в терминах полугрупп и уравнения (1) задачи в теории рассеяния [3], рассматривающей интервал Сведение задач для дифференциальных уравнений с частными производными к задачам для Д. у. а. (1) и (2) оказывается весьма удобным при разработке приближенных (напр., разностных [4]) методов решения и при рассмотрении асимптотич. методов ("малый" и "большой" параметры). Общие Д. у. а. с оператором

и граничными условиями на обоих концах интервала (О, Т)при неограниченных операторах А k, поддаются содержательному изучению лишь при весьма специальных предположениях относительно Ak. Для ограниченных Ak соответствующее обобщение теории обыкновенных дифференциальных уравнений не вызывает затруднений.

Лит.:[1] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., [2 изд.], М., 1962; [2] Lions J., Equations differentielles operatiounelies et problemes aux limites, В., 19G1; [3] Лакс П.,Филлипс Р., Теория рассеяния, пер. с англ., М., 1971; [4] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [5] Креин С. Г., Линейные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971.

А. А. Дезин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985