Математическая энциклопедия - дифференцирование по сети

специальное понятие дифференцирования функций множеств y(E). Сеть Nсовокупность разбиений основного пространства Xс мерой m, при этом

и для каждого найдется содержащее его множество Всеизмеримы и их совокупность в определенном смысле (см. [1]) аппроксимирует все измеримые множества. Множества А ⁱj при фиксированном iназ. множествами i-го ранга. Для каждой точки х 0 и любого пимеется одно и только одно множество А п(x0) n-го ранга, содержащее точку х 0.

Производной функции y(Е)по данной сети N в точке х 0 наз. выражение

если этот предел существует. Можно также определить понятие производных чисел по сети N.

Простейшим примером Д. по с. служит дифференцирование приращения функции одного действительного переменного по двоично-рациональным интервалам вида

Производная по сети для каждой счетно аддитивной функции y(E)существует почти всюду и совпадает с плотностью абсолютно непрерывной составляющей функции y(E). В n-мерном пространстве обычно рассматривается Д. по с. полуоткрытых сегментов, диаметр к-рых стремится к нулю с ростом ранга (см. [2]).

Понятие сети и дифференцирования по ней может быть обобщено на случай абстрактных пространств без меры (см. [3]).

Лит.:[1] Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л., Интеграл, мера и производная, 2 изд., М., 1967; [2] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [3] Кеnуоn Н., Моrsе А. Р., Web derivatives; N. Y., 1973 ("Mem. Amer. Math. Soc", № 132).

В. А. Скворцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985