Математическая энциклопедия - дифференцируемое многообразие

локально евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой.

Пусть Xхаусдорфово топологич. пространство. Если для каждой точки хО X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства Rⁿ, то Xназ. локально евклидовым прост ранством, или топологическим многообразием размерности п. Пара (U,j), где j указанный гомеоморфизм, называется локальной картой Xв точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор пдействительных чисел ( х ¹, . .., х ^п), называемых координатами x в карте (U,j).

Семейство карт {(Ua, ja)}, aОA, наз. п-мерным С ^k -атласом (, а)многообразия X, если: а) совокупность всех Ua покрывает X,б) для любых таких, что отображение

принадлежит дифференцируемости классу C^k;j^ab является дифференцируемым отображением с отличным от нуля якобианом и наз. преобразованием координат точки хиз карты (Ua,ja) в карту (Ub,jb).

Два C^k -атласа наз. эквивалентными, если их объединение снова является С ^k -атласом. Совокупность C^k -атласов разбивается на классы эквивалентности, к-рые наз. C^k- структурами, при дифференциальными (или гладкими) структурами, при k=а аналитическими структурами. Топологич. многообразие X, наделенное C^k -структурой, называется C^k -м ногообразием, или дифференцируемым многообразием класса C^k.

Понятие дифференциальной структуры можно ввести для произвольного множества X, заменив гомеоморфизмы ja биективными отображениями на открытые множества Rⁿ; при этом топология C^k -многообразия описывается как топология объединения, построенная по любому атласу соответствующей структуры. В этом случае n-мерные многообразия обладают очевидной re-мерной C⁰ -структурой.

Задачи аналитич. и алгебраич. геометрии приводят к необходимости рассматривать в определении дифференциальной структуры вместо пространства Rⁿ более общие пространства Cⁿ или даже Kⁿ, где Кполное недискретное нормированное поле. Так, в случае К = С соответствующая C^k -структура, непременно оказывается C^a -структурой, она наз. комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее Д. м.комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная действительная С ^а -структура.

На любом С ^а -многообразии есть согласованная с ней С°°-структура, и на C^k -многообразии, С ^r -структура, если Обратно, любое паракомпактное C^r -многообразие, можно наделить

С ^а -структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма, см. ниже) единственна. Может, однако, случиться, что С-многообразие нельзя снабдить C¹ -структурой (т. е. существуют несглаживаемые многообразия), а если это удается, то такая структура неединственна. Например, число q(n) С ¹ -неизоморфных -структур на n-мерной сфере таково:

Пусть f :непрерывное отображение С ^r- многообразий X, У; оно наз. C^k- морфизмом (или C^k- отображение м или отображением класса C^k). Д. м., если для любой пары карт {Ua, ja )на Xи (Vb , yb) на У такой, что f(Ua)Vb. отображение

принадлежит классу С ^k. Биективное отображение f такое, что оно и f^-1 суть С ⁿ -отображения, наз. С ^п- изоморфизмом (или диффеоморфизмом класса С ⁿ. В этом случае Xи У и определяющие и: С-структуры наз. С ⁿ -изоморфными.

Подпространство У n-мерного С ^k -многообразия X наз. С ^k- подмногообразием размерности пв X, если для всякой точки существуют ее окрестность и карта (U, ф) С ^k -структуры Xтакие, что

и ф индуцирует гомеоморфизм Vна пересечение j(UЗY). с (замкнутым) подпространством другими словами, существует карта с координатами х ¹, . .., х ^п такая, что определяется соотношениями х ^т+1 = ... = х ⁿ = 0.

Отображение f :наз. С ^k -вложением, если f(X)есть С ^k -подмногообразие в У, а С ^k -диффеоморфизм. Всякое n-мерное С ^k -многообразие допускает вложение в R²ⁿ⁺¹ и даже в R²ⁿ. Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений С ^k( Х,R²ⁿ⁺¹) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение Д. м. как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изложения их теории, на этом пути устанавливаются, напр., указанные выше теоремы о C^a -структурах.