Математическая энциклопедия - дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка

уравнение, к-рое содержит хотя бы одну производную 2-го порядка от неизвестной функции и(х)и не содержит производных более высокого порядка. Напр., линейное уравнение 2-го порядка имеет вид

где точка х-( х 1, х 2, ..., х п )принадлежит нек-рой области в к-рой определены действительнозначные функции aij(x), bi (х), с (х), и в каждой точке хотя бы один из коэффициентов aij(x)обличен от нуля. Для любой точки существует такое неособое преобразование независимых переменных x=x(x), что уравнение (1) в новых координатах x= (x1, x2, ...,xn). примет вид

где коэффициенты a*ij(x) в точке x0⁼x(x0) равны нулю при и равныили О при i= j. Уравнение (2) наз. канонич. видом уравнения (1) в точке х 0.

Число кположительных и число lотрицательных в точке x0 коэффициентов в уравнении (2) зависит только от коэффициентов aij(x)уравнения (1). Это обстоятельство позволяет классифицировать дифференциальные уравнения (1) следующим образом. Если k=n или l=п, то уравнение (1) наа. эллиптическим в точке х 0;. если k=п-1, а l= 1, или k=1, а l=п-1, то гиперболическим; если k+l=п и 1<k<n-1, то ультрагиперболическим. Уравнение наз. параболическим в широком смысле в точке х 0, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю в точке x0=x(x0), k+l<n; уравнение наз. параболическим в точке х 0, если только один из коэффициентов равен нулю в точке x0 (пусть ), а все остальные коэффициенты одного знака и коэффициент

В случае двух независимых переменных (n=2) тип уравнения удобнее определять с помощью функции

Так, уравнение (1) является эллиптическим в точке х 0, если D(x0)>0; гиперболическим, если D(х 0)<0, и параболическим в широком смысле, если D(х 0) = 0.

Уравнение наз. эллиптическим, гиперболическим и т. д. в области, если оно эллиптично, соответственно, гиперболично и т. д. в каждой точке этой области. Так, напр., уравнение Трикоми уи хх+и уy=О эллиптично при у>0, гиперболично при у<0 и параболично в широком смысле при у=0.

Преобразование переменных x0=x(x), к-рое приводит уравнение (1) к канонич. виду в точке х 0, зависит от этой точки. В случае трех и более независимых переменных, вообще говоря, не существует неособого преобразования, приводящего уравнение (1) к канонич. виду одновременно во всех точках нек-рой окрестности точки x0, т. е. к виду

В случае же двух независимых переменных (n=2) такое приведение уравнения (1) к канонич. виду возможно при нек-рых условиях на коэффициенты aij(x);напр., если функции а ij (х) непрерывно дифференцируемы до 2-го порядка включительно и уравнение (1) одного типа в нек-рой окрестности точки х 0. Пусть

нелинейное уравнение 2-го порядка, где и пусть в каждой точке из области определения действительнозначной функции Ф существуют производные и выполнено условие

Для классификации нелинейных уравнений вида (3) фиксируют некоторое решение этого уравнения и рассматривают линейное уравнение

с коэффициентами

Уравнение (3) для данного решения наз. эллиптическим, гиперболическим и т. д. в точке х 0 (или в области), если эллиптично, гиперболично и т. д. в этой точке (соответственно в области) уравнение (4).

К решению дифференциальных уравнений 2-го порядка сводится весьма широкий класс физических задач. См., напр., Волновое уравнение, Телеграфное уравнение, Теплопроводности уравнение, Лапласа уравнение, Пуассона уравнение, Гельмгольца уравнение, Трикоми уравнение

А. К. Гущин.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА уравнение, связывающее искомую функцию и(х), ее первые производные Diu=uxi, i=1,..., п, и независимые переменные x= ( х г, . . ., х п). Всякая система дифференциальных уравнений с частными производными может быть приведена к нек-рой системе Д. у. с ч.