Математическая энциклопедия - дифференциальное уравнение с частными производными

уравнение вида

где Fзаданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных

(и(х)неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т,по крайней мере одна из производных

функции Fотлична от нуля; натуральное число тназ. порядком уравнения (1).

Определенная в области Dзадания уравнения (1) функция и(х), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение и обращающая его в тождество, наз. регулярным решением. Наряду с регулярными решениями в теории Д. у. с ч. п. важное значение имеют решения, перестающие быть регулярными вблизи изолированных точек или многообразий особого вида: к ним относятся, в частности, элементарные (фундаментальные) решения. Они позволяют строить широкие классы регулярных решений (так наз. потенциалов) и устанавливать их структурные и качественные свойства.

В предположении непрерывности частных производных 1-го порядка функции Fотносительно переменных в теории уравнений вида (1) фундаментальную роль играет форма порядка т:

относительно действительных параметров l1, ...,l п, к-рая наз. характеристической формой, соответствующей уравнению (1).

Когда Fлинейная функция переменных р i1, ... in, уравнение (1) наз. линейным. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка можно записать в виде:

где Aij, Bj, С и f заданные в области Dдействительные функции точки х. Уравнение (3) наз. однородным, если f(x)=0 для всех В случае уравнения (3) форма (2) является квадратичной:

с коэффициентами Aij, зависящими только от точки В каждой точке квадратичная форма Qпри помощи неособого аффинного преобразования переменных li=li(x1, ..., xn), i=1, ..., п, может быть приведена к канонич. виду

где коэффициенты a, i=1, . . ., п, принимают значения 1, -1, 0, причем число отрицательных коэффициентов (индекс инерции) и число нулевых коэффициентов (дефект формы) являются аффинными инвариантами. Когда все ai= 1 или все ai =-1, т. е. когда форма Q соответственно положительно или отрицательно определена (дефинитна), уравнение (3) наз. эллиптическим в точке Если один из коэффициентов ai отрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то уравнение (3) наз. гиперболическим в точке х. В случае, когда l,l<l<n-1, коэффициентов ai положительны, а остальные пIотрицательны, уравнение (3) наз. ультрагиперболическим. Если же хотя бы один из этих коэффициентов (но не все) равен нулю, то уравнение (3) наз. параболическим в точке х. Говорят, что в области Dсвоего задания уравнение (3) является уравнением эллиптического, гиперболического или параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично или параболично, в каждой точке этой области. Эллиптическое в области Dуравнение (3) наз. равномерно эллиптически м, если существуют действительные числа k0 и k1 одинакового знака такие, что

для всех Когда в разных частях области D

уравнение (3) принадлежит к различным типам, то говорят, что оно является уравнением смешанного типа в этой области. Лапласа уравнение

теплопроводности уравнение

и волновое уравнение

являются типичными примерами линейных эллиптич., параболич. и гиперболич. уравнений 2-го порядка соответственно (подробнее см. Линейное гиперболическое уравнение и система, Линейное параболическое уравнение и система, Линейное эллиптическое уравнение и система).

Трикоми уравнение

относится к уравнениям смешанного типа в любой области плоскости переменных х 1, х 2, пересечение к-рой с осью х 2 = 0 не пусто (подробнее см. Смешанного типа уравнение с частными производными).

В случае линейного уравнения с частными производными порядка т

где L1линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка ниже т, форма (2)имеет вид

Если при фиксированном значении можно найти такое аффинное преобразование li=li(m1, ..., m п) i=1, ..., п, в результате к-рого полученная из (5) форма содержит лишь l,0<l<n, переменных m, то говорят, что уравнение (4) в точке хпараболически вырождается. При отсутствии параболич. вырождения и если конич. многообразие

не имеет действительных точек, кроме l1=0, ..., ln=0 то уравнение (4) в точке хназ. эллиптическими Уравнение (4) наз. гиперболическим в точке х, если в пространстве переменных l1,..., l п существует прямая d такая, что если принять ее за координатную прямую в новых переменных m1, . . ., mn, полученных аффинным преобразованием l1, ..., ln, то относительно координаты, изменяющейся вдоль d, преобразованное уравнение (6) имеет ровно тдействительных корней (простых или кратных) при любом выборе остальных координат m.

Аналогичным образом по характеру формы (2) происходит классификация по типам уравнения (1) и в нелинейном случае. Поскольку в этом случае коэффициенты формы (2) зависят, наряду с точкой х, от искомого решения и от его производных, классификация по типам имеет смысл лишь для этого решения. См. также Нелинейное уравнение с частными производными.

Когда Fпредставляет собой iV-мерный вектор F=(F1 , ...., FN )с компонентами

зависящими от и от M-мерных векторов

векторное равенство (1) наз. системой дифференциальных уравнений с частными производными относительно неизвестных функций u1, ..., и М или относительно неизвестного вектора и=(u1, ..., и М). Максимальный порядок производных от искомых функций, входящих в данное уравнение системы, наз. порядком этой системы (уравнения). Когда M=N и порядок каждого уравнения системы (1) равен т, определитель

где

квадратная матрица, представляет собой форму порядка Nm относительно действительных скалярных параметров l1, ...,l п и наз. характеристическим детерминантом системы (1). Классификация по типам системы (1) происходит по характеру формы (7) точно так же, как при рассмотрении одного уравнения порядка т. Фигурирующие в левой части уравнения (1) величины могут быть комплексными. Комплексное Д. у. с ч. п. очевидным образом заменяется системой Д. у. с ч. п.

Д. у. с ч. п. может вовсе не иметь решения. Однако встречающиеся в приложениях Д. у. с ч. п., как правило, имеют целые семейства решений. При выводе этих уравнений из общих законов, к-рым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Центральное место в теории Д. у. с ч. п. занимают задачи отыскания именно таких регулярных решений, к-рые удовлетворяют этим условиям. Условия задач, к-рым должно удовлетворять искомое решение, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.

Для эллиптич. уравнений обычно рассматриваются так наз. краевые задачи, к-рые, напр., в случае уравнения 2-го порядка в основном охватываются следующей постановкой: ищется регулярное в области Dрешение и(х)уравнения (1), удовлетворяющее условию

где Sграница области D, f и Нзаданные действительные функции, dstэлемент площади поверхности S, а под

при xОSпонимаются пределы соответствующих производных функции и(х), когда точка хизнутри области Dстремится к S.

В такой общей постановке задача (8) далека от своего сколько-нибудь полного решения. Сравнительно хорошо исследованы такие частные случаи этой задачи, какими являются тал наз. первая и вторая краевые задачи (см. Дирихле задача и Неймана задача )для линейных уравнений, удовлетворяющих условию равномерной эллиптичности.

В отличие от краевых задач для эллиптич. уравнений, в к-рых носителем данных является вся граница области, где ищется решение, для широких классов уравнений гиперболич. и параболич. типов носителями дополнительных данных могут служить определенным образом ориентированные незамкнутые поверхности пространства Е ⁿ, причем от них существенно зависит область определения искомого решения. К таким задачам относятся, напр., Коши задача с начальными данными, характеристическая задача Коши" Особо ставятся краевые задачи для уравнений смешанного типа. В теории Д. у. с ч. п. значительное внимание уделяется обширному классу смешанных задач. См. Смешанная задача для гиперболического уравнения и системы. Смешанная и краевая задачи для параболического уравнения и системы.

Задача считается в классич. смысле корректно (правильно) поставленной, если она имеет и притом единственное устойчивое решение. Задачи, не удовлетворяющие этим требованиям, до недавнего времени считались лишенными смысла. Начиная с 40-х гг. 20 в. широта диапазона математич. проблем физики, механики и техники заставила расширить не только понятие корректности постановок задач для Д. у. с ч. п., но и понятие самого решения. Были введены так наз. обобщенные решения. Наряду с вопросами существования и единственности точных решений тех или иных задач для Д. у. с ч. п. в приложениях значительную важность приобрели понятия в определенном смысле приближенных решений и фактическое построение таких решений.

Исторически одним из первых методов, позволяющих строить решения ряда задач для важных классов Д. у. с ч. п., является метод разделения переменных, или Фурье метод, к к-рому тесно примыкает метод интегральных преобразований (см. Фурье интеграл). От применения этого метода берет свое начало спектральная теория дифференциальных операторов.

Сравнительно позже был создан параметрикса метод, на основе к-рого построен потенциалов метод. Этот метод позволяет привлекать к исследованию краевых задач для эллиптич. уравнений аппарат интегральных уравнений. Далеко идущим развитием метода параметрикса являются методы теории функций комплексного переменного, успешно применяющиеся при исследовании эллиптич. уравнений с двумя независимыми переменными. См. Дифференциальное уравнение с частными производными;методы комплексного переменного.

Когда изучаемое Д. у. с ч. п. представляет собой уравнение Эйлера для многомерной задачи вариационного исчисления, часто пользуются вариационным методом. Вариационный метод весьма удобен в тех случаях, когда уравнение Эйлера является уравнением эллиптич. типа. См. также Дифференциальное уравнение с частными производными;вариационные методы решения.

Начиная с 30-х гг. 20 в. при исследовании Д. у. с ч. п. широко используются методы функционального анализа, среди к-рых центральное место занимают Шаудера метод и его дальнейшее развитие метод априорных оценок. Эти методы позволяют сравнительно легко установить существование слабых решений и сильных решений как для линейных, так и для нек-рых классов нелинейных Д. у. с ч. п. См. Дифференциальное уравнение с частными производными;функциональные методы решения.

Среди методов, успешно приводящих к цели при построении приближенных решений Д. у. с ч. п., чаще всего применяются методы конечных разностей исчисления. См. также Гиперболического типа уравнение, численные методы решения; Параболического типа уравнение, численные методы решения; Эллиптического типа уравнение, численные методы решения.

Лит.:[1] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1906; [2] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [3] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.

А. В. Бицадзе.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; вариационные методы решения методы решения краевых задач для Д. у. с ч. п. при помощи сведения этих задач (когда это возможно) к соответствующим образом подобранным вариационным задачам (т. е. к задачам на отыскание минимума или максимума нек-рого функционала) и решения последних.

Вариационные методы широко применяются как в теоретич. исследованиях (для доказательства теорем существования, единственности и устойчивости решений, при исследовании дифференциальных свойств решений, в спектральной теории, при изучении разнообразных вопросов оптимизации и т. д.), так и в вопросах, связанных с нахождением приближенных решений уравнений. Приближенные решения вариационных задач можно находить при помощи решения конечных систем алгебраич. уравнений, при этом алгоритмы нахождения приближенных решений вариационных задач часто оказываются проще и удобнее, чем имеющиеся алгоритмы решения соответствующих задач для Д. у. с ч. п.

Вариационный метод исследования краевых задач возник в сер. 19 в. в виде так наз. Дирихле принципа отыскания в области Gгармонич. функции, принимающей на границе дG области Gданное значение j(x), как функции, дающей в рассматриваемом классе функций минимум интегралу Дирихле. Первоначально принцип Дирихле применялся лишь в теории линейных эллиптич. уравнений 2-го порядка (впоследствии и более высоких порядков), а затем и в теории уравнений других типов, причем не только линейных, но и нелинейных. Разработке вариационных методов были посвящены работы Б. Римана (В. Riemann), К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), Д. Гильберта (D. Hilbert). Большую роль в развитии вариационных методов, в частности в вопросе их обоснования, сыграли вложения теоремы и их обобщения.

Одним из простых и типичных примеров использования вариационных методов является решение Дирихле задачи для эллиптического самосопряженного уравнения 2-го порядка

где

(Gобласть конечномерного евклидова пространства, дGее граница, j заданная на дG функция), и существует постоянная х>0 такая, что для всех точек и всех чисел x1, x2, ... , xn выполняется неравенство (условие эллиптичности)

В этом случае вариационный метод решения задачи (1) (2) состоит в отыскании функции и(х), для к-рой функционал

(уравнение (1) является Эйлера уравнением для функционала К(и))принимает наименьшее значение в классе допустимых функций, т. е. таких функций и(х), для к-рых и выполняется граничное условие (2). Вариационный метод применим только тогда, когда класс допустимых функций не пуст. Условия, к-рым должна удовлетворять заданная на границе функция j для того, чтобы класс допустимых функций был не пуст, даются теоремами вложения. Функция и(х), для к-рой функционал К(и)принимает наименьшее значение в классе допустимых функций, является обобщенным решением задачи (1) (2) (см. Дифференциальное уравнение с частными производными;функциональные методы решения) и, напр., в классическом случае непрерывной дифференцируемости коэффициентов aij(x)оператора (3) обычным решением этой задачи.

Другим типичным примером использования вариационных методов является их применение к отысканию собственных значений и собственных функций оператора (3).

Функция, дающая минимум нек-рому функционалу, может быть получена как предел так наз. минимизирующей последовательности, т. е. последовательности функций, значения функционала на членах к-рой стремятся к указанному минимуму. Для построения минимизирующих последовательностей и установления скорости их сходимости разработаны специальные методы (напр., Ритца метод).

Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [2] его же, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, пер. с англ., М., 1953; [3] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962; [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 3-5, М., 1958-59; [5] Михл ин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М., 1970; [6] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2 изд., М., 1973; [7] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976.

Л. Д. Кудрявцев.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача с данными на характеристиках задача, состоящая в решении дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными по заданным условиям на характеристических многообразиях. Основными задачами такого типа являются характеристическая задача Коши и Гурса задача.

В случае характеристич. задачи Коши, когда начальное многообразие является характеристич. в каждой точке, начальные данные не могут быть заданы произвольным образом. Они должны удовлетворять определенным условиям, к-рые диктуются дифференциальным уравнением. Поэтому характеристич. задача Коши, вообще говоря, не является корректно поставленной, если на класс искомых решений и на заданные функции не наложены дополнительные условия (особенно вдоль многообразия, не касательного к начальному). Напр., для теплопроводности уравнения

характерпстич. задача Коши

корректна в классе функций, растущих на бесконечности не быстрее ехр( сх ²);если же показатель 2 при хзаменить на 2+e, то единственности уже не будет. Существует широкий класс уравнений, для к-рых характеристич. задача Коши корректна.

Если начальное многообразие Sодновременно является многообразием вырождения типа или порядка уравнения, хр характеристич. задача может оказаться правильно поставленной. Напр., для уравнения

с достаточно гладкими начальными данными на любом интервале Sхарактеристики у=0 задача разрешима и притом единственным образом.

К задачам с данными на характеристиках относятся задачи с неполными и видоизмененными начальными данными, к-рые возникают в теории вырождающихся гиперболич. и параболич. уравнений и систем. Эти задачи для уравнений вида

ставятся следующим образом. Требуется отыскать решение и( х, у )уравнения, удовлетворяющее видоизмененным начальным данным

где a<x<b, j, t, y и v заданные функции, или неполным начальным данным, т. е. одному из этих условий.

Лит,:[1] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [2] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] Тихонов А. Н., "Матем. сб.", 1935, т. 42, с. 199-216; [4] Xермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [5] его же, "Математика", 1968, т. 12, № 2, с. 88 109.

А. М. Нахушев.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача с косой (наклонной) производной лгпге:гаая краевая задача для эллиптич. уравнений 2-го порядка.

Пусть D - область действительного евклидова пространства с декартовыми координатами x1, х 2,. . ., х п, граница дD к-рой представляет собой (п-1)-мерную гиперповерхность Ляпунова. Пусть в области Dзадано линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка

с действительными коэффициентами а ij, bi, с, F, удовлетворяющими условию Гёльдера в и, кроме того, в Dсоблюдено условие равномерной эллиптичности уравнения. Пусть l=(l1, l2, ..., ln)заданный на дD непрерывный действительный вектор, к-рый нигде не обращается в нуль. Задача с косой производной состоит в следующем: найти регулярное в области Dрешение и(х)уравнения (1), непрерывное в для к-рого в каждой точке существует предел

совпадающий с заданной непрерывной на дD функцией f(y)

f(y):

В краевом условии (2) без ограничения общности можно считать, что lединичный вектор. Неймана задача является частным случаем задачи с косой производной, когда левая часть в краевом условии (2) совпадает с производной от искомого решения по конормали v:

Если соблюдены условия

и

где Nвнешняя нормаль дD в точке у, то соответствующая задаче (1), (2) однородная краевая задача

в силу принципов Хопфа и Зарембы Жиро (см., напр., [1]), не может иметь решения, отличного от постоянной. В частности, когда в условии (3) по крайней мере в одной точке выполняется строгое неравенство, задача (1), (2) не может иметь более одного решения. При исследовании вопроса о существовании решений задачи (1), (2) обычно пользуются методом интегральных уравнений, априорными оценками или методами конечных разностей исчисления.

Выполнение условия (4) гарантирует фредгольмовость задачи (1), (2), то есть: а) размерность x1 пространства решений однородной задачи (5) конечна; б) если х 1=0, то задача (1), (2) всегда разрешима и притом однозначно; если х 1>0, то существует пространство линейных функционалов, обращение в нуль к-рых над Fи f является условием, необходимым и достаточным для существования решений задачи (1), (2); причем размерность этого пространства также равна х 1. Фредгольмовость задачи (1), (2) может нарушиться лишь тогда, когда множество Мточек у, для к-рых (Nl) = 0, не пусто. В частности, при п = 2 в предположении, что

(а это не ограничивает общность), задача (1), (2) редуцируется к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши, откуда следует нетеровость задачи, то есть: а) размерность х 1 пространства решений однородной задачи (5) конечна; б) размерность х 2 пространства линейных функционалов, обращение в нуль к-рых над Fи f является условием, необходимым и достаточным для разрешимости задачи (1), (2), также конечна; в) разность х 1 -х 2=x (индекс задачи (1), (2)) дается формулой

где 2яр приращение arg(l1-l2) при однократном обходе контура 3D области Dв положительном направлении. В рассматриваемом случае задача (1), (2) будет фредгольмовой лишь при р=-1. Число рхарактеризует вращение векторного поля (l1, l2) Когда (1) представляет собой равномерно эллиптич. систему, т. е. когда Fи иявляются ткомпонентными векторами, а а ij, bi, и сквадратными матрицами порядка т, причем матрицы а ij удовлетворяют

условию при определении оператора l(и). в краевом условии (2) задачи с косой производной под l1, l2, ..., l п следует понимать квадратные матрицы порядка т, а под fвектор с ткомпонентами.

Нётеровость задачи с косой производной имеет место для широких классов равномерно эллиптич. систем и операторов l(и). Так, напр., когда п=2 и а ij=0, i неравно j, а ii=Е, где Еединичная (диагональная) матрица, выполнение условия всюду на дD гарантирует нётеровость задачи (1), (2). При соблюдении этого условия индекс задачи (1), (2) вычисляется по формуле х=2 (р+m), где 2pp приращение arg det(lil2). при однократном обходе контура 3D области Dв положительном направлении.

С 60-х гг. 20 в. ведется интенсивное исследование задачи с косой производной при (см. [1]).

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [2] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; [3] Мусхелишвили Н. И.. Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [4] Воuligand G., Giraud G., Delens P., Le probleme de la derivee oblique en theore du potentiel, P., 1935.

А. В. Бицадзе.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача с разрывными коэффициентами задача для Д. у. с ч. п., в к-рой коэффициенты дифференциальных операторов испытывают разрывы 1-го рода (или скачки) при переходе через нек-рые поверхности и на этих поверхностях заданы условия сопряжения.

Задала с разрывными коэффициентами в случае эллиптич. операторов 2-го порядка (задача трансмиссии) состоит в следующем. В произвольной ограниченной открытой N-мерной области gс границей Г задана (N-1)-мерная поверхность Г 1, разбивающая область gна подобласти g1 и g2;в области (g+ Г) ставится задача:

где

определенный в области gl линейный дифференциальный оператор эллиптич. типа;

где д/дvlпроизводная по конормали, равная

пвнешняя нормаль к Г 1, а символы Г 1-0 и Г 1+0 означают, что берутся предельные значения соответственно с внутренней и с внешней сторон поверхности Г 1 по отношению к области g1, fl,j, y, c заданные функции.

Здесь для простоты считается, что имеется лишь одна поверхность разрыва коэффициентов поверхность Г 1.

Задача (*) является математич. описанием стационарных физич. процессов, происходящих в области, составленной из различных сред, напр, рассеяния электромагнитной волны на каком-либо препятствии или распространения тепла в слоистой среде.

У задачи (*) существует классич. решение при условиях, к-рые в случае отсутствия разрыва у коэффициентов и при j=y=0 переходят в Жиро условия разрешимости задачи Дирихле (см. [3], [4], [5]). Для задачи (*) изучались: обобщенные из W^l2 решения (см. [1], [2]); задача на собственные значения и оценки собственных функций для самосопряженных операторов Ll (см. [6], [8]); случаи вырождения в связи с марковскими процессами (см. [9], [10]); случаи с квазилинейными операторами Ll (см. [13]). Для задачи (*) могут быть установлены оценки Шаудера (см. [6], [7]); разработаны численные методы ее решения [11], [12]. Построена теория разрешимости задач с разрывными коэффициентами для эллиптич. уравнений и систем порядка 2т (см. [18], [19], [20]).

Задача с разрывными коэффициентами для параболич. и гиперболич. операторов 2-го порядка столь же подробно изучена (см. [2], [9], [14], [15], [16], [17]).

Лит.:[1] Ладыженская О. А., "Докл. АН СССР", 1954, т. 96, № 3, с. 433-36; [2] Олейник О. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1961, т. 25, № 1, с. 3-20; [3] Ильин В. А., Шишмарев И. А., "Сиб. матем. ж.", 1961, т. 2, № 1, с. 46 58; [4] Ильин В. А., "Докл. АН СССР", 1961, т. 137, Х" 1, с. 28-30; [5] Ладыженская О. А., Уральцева Н. И., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., 1964; [6] Шишмарев И. А., "Докл. АН СССР", 1961, т. 137, № 1, с. 45-47; [7] В ан Тун, "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1964, т. 4, №3, с. 577-80; [8] Ильин В. А., "Докл. АН СССР", 1961, т. 137, № 2, с. 272-75; [9] Гирсанов И. В., "Докл. АН СССР", 1960, т. 135, № 6, с. 1311 13; [10] Фрейдлин М. И., "Докл. АН СССР", 1962, т. 144, № 3, с. 501-04; [11] Самарский А. А., в кн.: Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда. Ленинград, 1961, т. 2, Л., 1964; [12] его же, "Ж . вычисл. матем. и матем. физ.", 1961, т. 1, №3, с. 441 460; [13] Борсук М. В.,"Докл. АН СССР", 1967, т. 177, № 5, с. 991-94; [14] Камынин Л. И., в кн.: Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными, Новосиб., 1963, с. 3-6; [15] Камынин Л. И., Масленникова В. Н., "Сиб. матем. ж." 1961, т. 2, № 3, с. 384-99; [16] Ильин В. А., "Докл. АН СССР", 1962, т. 142, Х° 1, с.21 4; [17] Егоров Ю. В., "Докл АН СССР", 1960, т. 134, Д. 3, с. 514-17; [18] SchechterM., "Ann. Scuola norm, super. Pisa. Sci. fis. e mat.", I960, v 14 p. 207-36; [19] Ройтберг Я. A., Шepтель З. Г., "Докл. АН СССР", 1963, т. 148, № 5, с. 1034-37; [20] их же, "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 5, с. 181-82.

И. А. Шишмарев.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача с разрывными начальными (краевыми) условиями задача для Д. у. с ч. п., в к-рой функции, задающие (начальные) краевые условия, не являются непрерывными.

Пусть, например, для гиперболического уравнения второго порядка

поставлена смешанная задача с начальными условиями:

и краевыми условиями

в этом смысле разрывы начальных функций j0 и j1 влекут за собой разрывы ии дu/дt вдоль характеристических лучей х-at=const и x+at=const, причем мера разрыва

или

где точка разрыва функций j0 или j1,

удовлетворяет вдоль характеристического луча уравнению

т. е. x^=constАналогичные результаты справедливы для гиперболических уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами:

В этом случае разрывы начальных функций и краевых условии также влекут за собой разрывы ии du/dt вдоль характеристических лучей, определяемых из системы уравнений

мера разрыва cудовлетворяет уравнению:

где функция j(х)определяет характеристическую поверхность в виде уравнения j(x)=С.

Для уравнения эллиптического типа разрывы краевых условий внутрь области Dне распространяются, т. к. в этом случае характеристические лучи комплексны. Для таких уравнений эллиптического типа изучен вопрос о существовании и единственности решения и об удовлетворении решения граничным условиям. Так, для эллиптических уравнений 2-го порядка в произвольной области

доказано, что если граничная функция для первой краевой задачи и для второй краевой задачи, то существует обобщенное решение из к-рое удовлетворяет граничному условию

в среднем, т. е.где поверхности дDn аппроксимируют поверхность дD. В случае параболических уравнений (также как и для эллиптических уравнений) разрывы внутрь области Dне распространяются, если разрывны начальные данные или краевые условия. Для этих задач изучены также вопросы о существовании и единственности обобщенного решения граничному условию.

Лит.:[1]Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд.,М., 1972; [2] Владимиров В. С, Уравнения математической физики, М., 1976; [3] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [6] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.

2 изд., М., 1973; [7] Ладыженская О. А., Солонников В. А.,Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., 1967; [8] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [9] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [10] Агмон С, Дуг лис А., Ниренберг Л., Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы ..., пер. с англ., М., 1962.

Е. И. Моисеев.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; задача со свободными границами задача, в к-рой требуется найти решение системы Д. у. с ч. п. с соответствующими начальными и граничными условиями в области, граница к-рой частично или полностью неизвестна и подлежит определению.

К такого типа задачам приводят многие проблемы фильтрации, диффузии, теплопроводности и др. разделов механики сплошных сред. Так, напр., задача Гельмгольца Кирхгофа о симметричном струйном обтекании равнобочного клина с углом раствора 2ая неограниченным потоком идеальной жидкости заключается в отыскании компонент скорости и=и( х, у), v=v(x, у), являющихся решением системы уравнений Коши Римана:

и удовлетворяющих на известной границе условиям (см. рис.):

Неизвестная граница BS является линией тока, и на ней задано дополнительное условие

(на рис. приведена верхняя половина течения при течение симметрично).

При изучении плоских задач со свободными границами большую роль играют методы теории функций комплексного переменного.

См. также Стефана задача.

Лит.:[1] Монахов В. Н., Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем, Новосиб., 197 7; [2] Кружков С. Н.,"Прикл матем. и механ.", 1967, т. 31, в. 6, с. 1009-20; [3] Шишкин Г. И., "Докл. АН СССР", 1971, т. 197, № 6, 1276-79.

Ф. П. Васильев

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; метод уравнений Фишера Рисса, метод Пикон е,метод решения краевых задач для Д. у. с ч. п., основанный на применении формулы Грина и приводящий к системе интегральных уравнений (Фишера Рисса) .для нек-рого подходящим образом подобранного неизвестного вектора. Метод дает возможность находить численные значения решений, но может быть применен и для доказательства теорем существования.

Пусть L* и Lсопряженные линейные эллиптические операторы 2-го порядка в пространстве точек ( х и х 2, ..., х п )с действительными коэффициентами

Dконечная область, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в классе функций, допускающих интегральные представления по формулам Грина, ищется решение и(х)задачи Дирихле:

Пусть, далее, v(x)произвольная функция из того же класса. Применение формулы Грина к и(х)и v(x). приводит к соотношению где

v внутренняя конормаль. Пусть U-( и 1, и 2 )-двухкомпонентный вектор, составляющие к-рого -действительные функции с суммируемым квадратом, причем первая составляющая определена в D, а вторая на S. Пусть L2(D, S) - множество этих векторов; норма вводится через скалярное произведение Uи Vиз L2(D, S):

Пусть {vk}множество, выбранное так, что совокупность двухкомпонентных векторов

полна в гильбертовом пространстве L2(D, S). Тогда, обозначив через U -(u1, и 2 )вектор с первой составляющей u1 (х), равной u(x), и второй составляющей и 2 (у), совпадающей с дu/дv, можно записать (1) в виде системы интегральных уравнений Фишера Рисса:

Если совокупность {Vk} ортонормирована и выполняются условия Рисса Фишера теоремы, то система (2) определит в L2(D, S )коэффициенты Фурье ck вектора U= (u1, u2 )относительно полной системы базисных векторов , {Vk}. Если известно, что решение рассматриваемой задачи существует и единственно, то ряд Фурье сходится в среднем к искомому решению и только к нему. В противном случае выбор функций {vk} связан с необходимостью дополнительного исследования. Так, если допускаются собственные решения и 0 (х)(нарушена единственность), совокупность {Vk} должна удовлетворять равенствам

где U0=(u0 (х), дu0/dv). Если в качестве {vk} взята последовательность одночленов с целыми неотрицательными показателями a1, a2, ..., a т, то значения и(х)и дu/дv, найденные из (2), вместе с заданным йа Sзначением и(х), удовлетворяют функциональным соотношениям Грина:

где k тотличная от нуля постоянная, зависящая от т, и w(y, x)фундаментальное решение уравнения L*v=0. В этом случае все решения системы уравнений Фишера Рисса (2) и только они являются решениями рассматриваемой краевой задачи. Центральным пунктом этого метода является построение подходящим образом выбранной совокупности функций {vn}, удовлетворяющих условию L*vn=0 либо нек-рым условиям полноты [4].

Этот способ не требует задания явного выражения фундаментального решения, но если последнее известно, то, в силу того, что совокупность {w(y, x^{k))}, где x^(k)счетная бесконечная последовательность произвольных точек, не принадлежащих DUS, линейно независима и полна в L2(S)[4], можно значительно упростить вычисления; эта теорема позволяет также распространить метод уравнений Фишера Рисса на задачи с косыми производными (см. Дифференциальное уравнение с частными производными;задача с косой производной) и другие типы уравнений.

Лит.:[1] Picone M., "Atti Accad. sci. Torino. Cl. sci. fis., mat. e natur.", 1940, v. 75, p. 413-26; [2] Ameriо L., "Amer. J. Math.", 1947, v. 69, №3, p. 447-89; [3] Fiсhera G., "Ann. Scuola norm, super. Pisa. Sci. fis. e mat.", 1950, t. 4, fase. 1-2, p. 35-99; [4] Купрадзе В. Д., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 2, с. 59-107; [5] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957.

В. Д. Купрадзе.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ; методы комплексного переменного методы решения эллиптических Д. у. с ч. п., в к-рых используется представление решений через аналитич. функции комплексного переменного.

Теория аналитич. функций

комплексного переменного z=x+iy представляет собой теорию двух действительных функций и( х, у )и v(x, у), удовлетворяющих системе уравнений Коши Римана: и х-vy=0, uy+vx=0, к-рая по существу эквивалентна уравнению Лапласа

Начиная с 30-х гг. 20 в. методы аналитич. функций интенсивно стали проникать в общую теорию уравнений эллиптич. типа. Это привело к созданию нового раздела анализа, существенно расширяющего рамки классич. теории аналитич. функций и ее применений. В этой области фундаментальную роль играют различные формулы представления всех решений весьма широкого класса эллиптич. уравнений через аналитич. функции одного комплексного переменного. Для линейных уравнений эти представления осуществляются с помощью нек-рых линейных операторов, выражающихся посредством коэффициентов. Эти формулы дают возможность распространить свойства аналитич. функций на решения уравнений эллиптич. типа, причем, в ряде случаев в дословной формулировке сохраняются такие важные свойства, как теорема единственности, принцип аргумента, теорема Лиувилля и др. В естественной форме обобщаются ряды Тейлора и Лорана, интегральная формула Коши, принцип компактности, принцип аналитич. родолжения и др.

Формулы комплексного представления позволяют строить разнообразные семейства частных решений уравнения, обладающие теми или иными заданными свойствами. Напр., можно строить различные классы так наз. элементарных решений, имеющих точечные особенности, к-рые используются для получения различных интегральных формул, а также так наз. полные системы частных решений; последние обладают тем свойством, что при помощи их линейных комбинаций можно приближать любые решения. Формулы комплексного представления позволяют также редуцировать широкий круг граничных задач к эквивалентным краевым задачам для аналитич. функций, а также строить эквивалентные задаче интегральные уравнения (типа Фредгольма или сингулярные). Этот метод позволяет исследовать краевые задачи нефредгольмового типа, получить условие нормальной разрешимости и явную формулу индекса. См. Краевая задача;методы комплексного переменного.

Эллиптические уравнения с аналитическими коэффициентами. Пусть дано уравнение 2-го порядка эллиптич. типа

где а, b и с аналитич. функции действительных переменных х, у в нек-рой области плоскости z=x+iy. Аналитическое продолжение коэффициентов в область независимых комплексных переменных z=x+iy,z = хiy приводит уравнение (1) к виду:

Односвязная область D0 наз. основной областью уравнения (1), если А, В и Саналитич. функции двух независимых переменных в цилиндрич. области (D0, D0), где D0 обозначает зеркальное изображение D0 относительно действительной оси.

Если односвязная область, то все регулярные в области Dрешения уравнения (1) выражаются по формуле

где Ф(z) произвольная голоморфная функция в области произвольные фиксированные точки; аналитич. функция G(z,z, t,t) четырех независимых комплексных аргументов в цилиндрич. области наз. функцией Римана уравнения (1). Она является решением интегрального уравнения типа Вольтерра:

Осуществляемое формулой (3) соответствие между семейством решений {и} уравнения (1) и семейством голоморфных функции {Ф} взаимно однозначно, если зафиксировать значения мнимой части Ф в фиксированной точке zx области D. При z1 = z0=0 имеет место формула обращения:

Уравнение (4) можно решить методом последовательных приближений. Таким путем можно найти приближенные выражения для функции Римана.

В случае многосвязной области Dформула (3) дает, вообще говоря, многозначные решения. Чтобы получить в этом случае все однозначные решения уравнения (1), в качестве Ф в (3) надо брать многозначные функции определенного вида.

Пусть Dдвухсвязная область (), D' ограниченный континуум, дополняющий Dдо односвязной области. Тогда все однозначные в области Dрешения уравнения (1) даются формулой

где фиксированные точки, ф (z) многозначная аналитич. функция вида

Здесь а произвольная действительная постоянная, Ф 0(z) произвольная голоморфная функция в области D, Lлюбая простая замкнутая кусочно гладкая кривая, лежащая в Dи окружающая D'. Функции Ни Н* выражаются по формулам

Комплексные представления вида (3) распространяются также и на системы уравнений, записываемых в векторной форме в виде (1), где ивектор с компонентами и 1,..., и п, а, b, сквадратичные матрицы порядка и, элементы которых аналитич. функции переменных х, у.

В той области, где уравнение (1) имеет хотя бы одно положительное решение u0>0, подстановкой u=u0v его можно привести к виду

(такое решение всегда существует в малой окрестности любой фиксированной точки, а также в любой области, где ). В этом случае уравнение (1) эквивалентно системе уравнений, к-рая представляет собой частный случай обобщенной системы Коши Римана вида

Вводя в рассмотрение комплексную функцию w=u+iv, эту систему можно записать в виде

Если коэффициенты Аи Ваналитич. функции комплексных аргументов z и z(z=x+iy,z=x-iy )в нек-рой цилиндрич. области (D0, D0), где D0односвязная область, то решение уравнения (6) в односвязной области выражается формулой

в к-рой Г 1 и Г 2 аналитич. функции своих аргументов, выражающиеся через А и В;они строятся по методу последовательных приближений, Ф произвольная аналитич. функция переменного z.

В случае, когда Аи Вцелые функции переменных x и y, представление (8) имеет место Для любой односвязной области плоскости z без ограничений па поведение коэффициентов Аи Ввблизи бесконечности.

Пусть дано эллиптич. уравнение вида

где аналитич. функции х, у. Если D0основная область уравнения (9), то всякое регулярное решение этого уравнения в односвязной области DМ D0, выражается формулой

где Ф 0, ..., Ф n-1 -произвольные голоморфные в области Dфункции

Здесь Gкомплексная функция Римана уравнения (9), к-рая аналитически зависит от комплексных аргументов (t, t, z, z) в цилиндрич. области При выполнении условий

формула (10) осуществляет взаимно однозначное соответствие между семейством решений {и} уравнения (9) и семейством голоморфных функций {(Ф 0, ..., Ф n-1)}. Если Dмногосвязная область, то формула (10) дает, вообще говоря, многозначные решения. Но, как и в случае уравнения 2-го порядка, можно видоизменить эту формулу так, чтобы она давала все однозначные решения уравнения (9) и в многосвязной области. Формула (10) распространяется также на, систему уравнений вида (9), где и - вектор, а коэффициенты матрицы.

продолжение ДУ с частными производными..

Для ряда уравнений математич. физики функция Римана выражается в явной форме при помощи элементарных или специальных функций.

В случае уравнения колебаний мембраны

где J0 функция Бесселя нулевого порядка; в качестве основной области можно взять всю комплексную плоскость. Случай l=0 дает уравнение Лапласа Du=0; тогда G=1 и формула (3) принимает вид

Для уравнения сферич. функций

где Р п - функция Лежандра первого рода; в качестве основной области можно взять любую односвязную область D0, для к-рой выполняется условие: если то (напр., круг |z|<l). Для уравнения Эйлера Дарбу

где 2b = a' + ia, 2b' = a' -ia, Fгипергеомётрич. ряд, в качестве основной области можно взять полуплоскости у>0 или у<0.

Для уравнения

и имеет место формула Гурса

Метод комплексных представлений решений применим также к пек-рому классу нелинейных уравнений. Пусть, напр., дано известное в дифференциальной геометрии уравнение Гаусса

тде ( х, у)заданная функция. Если v0(z) какое-либо частное решение этого уравнения, то его же решениями являются функции вида

где Ф (z) произвольная аналитич. функция. Если k=const, то и все решения уравнения

Гаусса выражаются формулой: