Математическая энциклопедия - дифференцирование отображения

нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. е. аппроксимация отображения в окрестности нек-рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление наиболее разработано в топологич. линейных пространствах.

Пусть Xи Y-линейные топологич. пространства. Пусть отображение f определено на открытом множестве V пространства Xи принимает значения в пространстве Y. Если разность f(x0+h)-f(x0), где и может быть аппроксимирована линейной относительно приращения hфункцией l х0: X-> Y, то f наз. дифференцируемым отображением в точке х 0. При этом аппроксимирующая линейная функция lx0 наз. производной или дифференциалом отображен и яв точке х 0 и обозначается символом f'(x0 )или df(x0). Отображения, имеющие в данной точке одинаковые производные, наз. касательными отображениями друг к другу в этой точке. Значение аппроксимирующей функции на элементе (обозначаемое символом f'(x0)hили dhf(x0 ))наз. дифференциалом отображения f в точке х 0 при приращении h.

В зависимости от того, что понимается под аппроксимацией приращения f(x0+h)-f(x0 )линейным по hвыражением, приходят к различным понятиям дифференцируемости и производной. Все важнейшие существующие определения см. п [1], [2].

Пусть F-совокупность всех отображений из Xв Yих нек-рая топология или псевдотопология в F. Отображение является малым в нуле, если кривая понимаемая как отображение прямой в F, непрерывна в нуле в псевдотопологии т. Далее, отображение дифференцируемо в точке х 0, если существует такое линейное (непрерывное) отображение lx0, что отображение

является малым в нуле. В зависимости от выбора т в Fполучаются различные определения производных. Напр., в случае, если в качестве топологии т выбирается топология поточечной сходимости, получается дифференцируемость по Гато (см. Гато производная). В случае, если Xи У банаховы пространства, а топология в Fесть топология равномерной сходимости на ограниченных множествах в X, приходят к дифференцируемости по Фреше (см. Фреше производная).

Если X=Rⁿ,a Y=R^m, то производная f'(x0 )дифференцируемого отображения f(x)=(f1(x), ...,fm(x)), где x=( х 1,..., х п), задается Якоби матрицей ||дfi(x0)/dxj|| и является непрерывным линейным отображением из Rⁿ в R^m.

Производные отображений обладают многими свойствами производных функций одного переменного. Напр., для них в самых широких предположениях имеет место свойство линейности:

во многих случаях для них верна формула

дифференцирования сложной функции; для отображений в локально выпуклые пространства справедливо обобщение теоремы Лагранжа о среднем значении.

Понятие дифференцируемого отображения распространяется на случай, когда X и Yгладкие дифференцируемые многообразия, как конечномерные, так и бесконечномерные [4], [5], [6]. Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств и их производные были определены впервые В. Вольтерра (V. Volterra, 1887), М. Фреше (М. Frechet, 1911), Р. Гато (R. Gateau, 1913). Подробнее об истории развития понятия производной в многомерных пространствах см. [2].

Лит.:[1] Фрёлихер А., Бухер В., Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы, пер. с англ., М., 1970; [2] Авербух В. И., Смолянов О. Г., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 6, с. 201-60; 1968, т. 23, в. 4, с. 67-116; [3] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [4] Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [5] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [6] Спивак М., Математический анализ на многообразиях, пер. с англ., М., 1968.

О. Г. Смоляное, В. И. Соболев, В. М. Тихомиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985