Математическая энциклопедия - дифференциальный инвариант

выражение, составленное из одной или нескольких функций, Их частных производных по независимым переменным различных порядков, а иногда и дифференциалов этих переменных, инвариантных относительно того или иного преобразования.

Пусть в дифференцируемом многообразии Х n элементом к-рого является точка (u¹, и ², ..., и ⁿ), задан геометрический объект Q(см. Геометрических объектов теория). Геометрич. объект со того же многообразия наз. дифференциальным инвариантом порядка готносительно объекта Q, если его координаты wA, А = 1,2, ..., N, являются функциями координат Wa, а=1, 2, ..., М, объекта W. и их частных производных по координатам uⁱi=1, 2, . . ., п, до порядка и обладают следующим свойством инвариантности относительно нек-рого преобразования координат, Именно, при замене координат

новые координаты w'A объекта со выражаются через новые координаты W'A объекта w. и их частные производные по новым координатам теми же самыми функциями fA:

Пусть, напр., Wобъект линейной аффинной связности (без кручения). Объект со (тензор кривизны):

есть тензорный Д. и. порядка 1 относительно Кристоффеля символов

Пусть в Х п задана группа (псевдогруппа) Gточечных преобразований

и Mh подмногообразие Х п размерности h:

параметры к-рого подвергаются преобразованиям бесконечной группы G:

Геометрическим дифференциальным инвариантом порядка rмногообразия М h относительно группы (псевдогруппы), Gназ. функцию координат и' точки Mh и их частных производных до порядка r по параметрам t^a:

обладающую свойством инвариантности относительно преобразований (1) и (2). Именно, если в (3) заменить и ⁱ по формулам (1), а частные производные от и ⁱ по t^a.их выражениями через частные производные от по то получается та же функция Fот и ⁱ и их производных по

Если координаты и ⁱ однородны, то функция Fдолжна быть также инвариантна относительно преобразований

В определении геометрич. Д. и. функцию Fможно заменить геометрич. объектом. Если этот объект ковариантный (контравариантный) вектор, то его наз. ковариантом (контраварианто м).

Если инвариантно обращение в нуль нек-рого объекта, то его наз. относительным дифференциальным инвариантом.

Лит.:[1] Thomas T. Y., The differential invariants of generalized spaces, Camb., 1934; [2] Weitzenboch R., Jnvarianten-theorie, Groningen, 1923.

В, И. Шуликовспий.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985