Математическая энциклопедия - дифференциальный оператор

обобщение оператора дифференцирования. Д. о. (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный) оператор, определенный нек-рым дифференциальным выражением и действующий в пространствах (вообще говоря, векторнозначных) функций (или сечений дифференцируемых расслоений) на дифференцируемых многообразиях, или в пространствах, сопряженных к пространствам этого типа. Дифференциальное выражение это такое отображение Xмножества в пространстве сечений расслоения x с базой Мв пространство сечений расслоения h с той же базой, что для любой точки и любых сечений

из совпадений их k-струй в точке рследует совпадение lf и gв той же точке; наименьшее из чисел А, удовлетворяющих этому условию для всех наз. порядком дифференциального выражения и порядком Д. о., определенного этим выражением.

На многообразии Мбез края Д. о. часто является расширением оператора, естественно определяемого фиксированным дифференциальным выражением на нек-ром (открытом в подходящей топологии) множестве бесконечно (или достаточно много раз) дифференцируемых сечений данного векторного расслоения x с базой Ми, таким образом, допускает естественное обобщение на случай пучков ростков сечений дифференцируемых расслоений. На многообразии Мс краем дМ Д. о. Lчасто определяется как расширение аналогичного оператора, естественно определенного дифференциальным выражением на множестве тех дифференцируемых функций (или сечений расслоения), ограничения к-рых на дМ лежат в ядре нек-рого Д. о. lна дМ (или удовлетворяет каким-либо др. условиям, определяемым теми или иными требованиями к. области значений оператора lна ограничениях функций из области определения оператора L, напр., неравенствами); Д. о. lназ. определяющим граничные условия для Д. о. L. Линейные Д. о. в пространствах, сопряженных к пространствам функций (или сечений), определяются как операторы, сопряженные к Д. о. указанного выше вида в этих пространствах.

Примеры. 1) Пусть Fдействительная функция k+2 переменных х, у 0, у 1, . .., yk, определенная в нек-ром прямоугольнике дифференциальное выражение

(где функция Fобычно удовлетворяет нек-рым условиям регулярности измеримости, непрерывности, дифференцируемости и т. п.) определяет Д. о. Dна многообразии D, область определения которого W. состоит из всех функций удовлетворяющих условию для i=0, 1, ..., А; если F непрерывна, то Dможет рассматриваться как оператор в С(I)с областью определения W; Д. о. Dназ. общим обыкновенным Д. о. Если Fзависит от yk, то порядок Dравен к. Д. о. Dназ. квазилинейным, если Fлинейно зависит от у