Математическая энциклопедия - дифференцирование численное

нахождение производной функции численными методами. Д. ч. используется в случаях, когда методы дифференциального исчисления неприменимы (функция задана таблично), или их применение вызывает значительные трудности (функция имеет сложное аналитическое выражение).

Пусть на отрезке [ а, b]определена функция и=и (х)и заданы узловые точки х;, a=x1<x2< ...<xn=b. Совокупность точек ( х i, и i=и( х i)), i=l, ..., п, наз. таблицей. Результатом Д. ч. таблицы является функция в каком-либо смысле приближающая k-ю производную функции на нек-ром множестве точек х. Применение Д. ч. целесообразно, когда получение функции для каждого требует незначительной затраты вычислительных средств. Обычно используются линейные методы Д. ч., где результат Д. ч. записывается в виде

функции, определенные на Наиболее распространенный метод получения формул (1) состоит в следующем: строят функцию

интерполирующую и(х), и полагают

Точность алгоритмов, основанных на интерполяционных формулах Лагранжа, Ньютона и др., существенным образом определяется выбором способа интерполяции и может быть иногда весьма низкой даже для достаточно гладких функций и=и (х)и при большом числе узловых точек (см. [1]). От этого недостатка часто свободны алгоритмы Д. ч., использующие сплайн-интерполяцию (см. [2]). Если требуется вычисление приближенных значений производной только в узловых точках х i, то формула (1) принимает вид

и полностью определяется заданием для данного kматрицы коэффициентов Формулы типа (2) наз. разностными формулами Д. ч. Коэффициенты a^kij этих формул определяют из условия наивысшего порядка малости по разности

Формулы (2), как правило, весьма просты и удобны на практике. Напр., при h=hn=(x2-x1)=(x3 -х 2)= ... =( х п- х п-1) они имеют вид:

Алгоритмы Д. ч. часто применяются к таким таблицам, в к-рых значения и( х i )заданы (или получены) неточно. В этом случае требуется их предварительное сглаживание, так как непосредственное применение Д. ч. может привести к большим погрешностям в результатах (см. [3]).

Лит.:[1] Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [2] Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; [3] Морозов В. А., в кн.: Вычислительные методы и программирование, в. 14, М., 1970, с. 46-62.

Л. А. Морозов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985