Математическая энциклопедия - дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом

дифференциальное уравнение, связывающее аргумент, искомую функцию и ее производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента. Примеры:

где постоянные а, t, kзаданы; т в уравнении (1) и t-kt в уравнении (2) отклонения аргумента. Встречаются и более сложные Д. у. с о. а., включающие большее число отклонений аргумента,. могущих представлять собой заданные функции (в частности, если они постоянны, то уравнение часто наз. дифференциально-разностным) или даже зависеть от искомого решения. Эпизодически рассматривались также Д. у. с о. а., в к-рых искомая функция зависит более чем от одного аргумента. Д. у. с о. а. впервые появились в связи с формальным решением уравнений с частными производными и затем неоднократно рассматривались как сами по себе, так и в связи с задачами геометрии, а позднее в связи с различными приложениями, прежде всего к теории автоматич. управления. Построение систематич. теории Д. у. с о. а. было начато в 1949.

Определение Д. у. с о. а. допускает любые суперпозиции искомого решения [типа x(x(t))]и интегралы от него, поэтому формально класс Д. у. с о. а. включает в себя все уравнения математич. анализа. Все же обычно, говоря о Д. у. с о. а., имеют в виду тот или иной естественный класс дифференциальных уравнений, в к-рых введено отклонение аргумента, допускающее построение содержательной теории. При этом ряд свойств Д. у. с о. а. имеет непосредственную аналогию со свойствами обычных дифференциальных уравнений, тогда как иные свойства являются принципиально новыми.

Уравнение (или система уравнений)

(для системы хи f векторы), где все tj>0, наз. уравнением (системой) запаздывающего, нейтрального или опережающего типа, если maxjmj<n, =n,>n, соответственно. Для уравнений иных видов такая классификация проводится на основе преобразования к виду (3) с помощью замены c возрастающая функция; напр., уравнение (1) запаздывающего типа при t>0 и опережающего (замена ) при t<0.

Если отклонения tj зависят от t, то уравнение (3) может менять тип; напр., уравнение (2) для запаздывающего типа при и опережающего при t<0. Если tj зависят от искомого решения, то уравнение (3) может иметь различный тип для различных его решений. Наиболее подробно разработана теория Д. у. с о. а. запаздывающего типа, менее нейтрального типа и почти не изучена теория уравнений опережающего типа.

Один из простейших классов Д. у. с о. а. следующий:

Для этого класса Д. у. с о. а. ставится основная начальная задача: заданы начальная точка t0, начальная функция j(t), и значение x(t0+0); под решением задачи для уравнения (4) понимается функция x(t), t>t0, обращающая уравнение (4) в тождество, причем' при t>t0, в правую часть вместо x(t-t) надо подставлять j(t-t). Для решения поставленной задачи можно применить метод шагов: при решают начальную задачу для уравнения (4), в к-ром вместо x(t-t) подставлено j(t-t); при будет to<t-tt0+т, т. е. x(t-t) уже построено, и т. д.; таким образом, на каждом шаге приходится решать задачу Коши для уравнения без отклонения аргумента. Если функции f и j непрерывны и x(t0+0)=j(t0), то решение задачи существует на нек-ром интервале и может быть продолжено обычным образом, а если функция f(t, х, у )удовлетворяет по хусловию Липшица, то это решение единственно и непрерывно зависит от f, ф, т. Если при этом функция f достаточно гладкая, то х' (t)непрерывна при t>t0, x"(t)непрерывна при t>t0+t и т. д. (свойство сглаживания).

Аналогично ставится начальная задача и строится решение для систем уравнений вида (4) и для уравнений высших порядков. В случае нескольких запаздываний за шаг принимают наименьшее из них. Если t=t(t), то j(t) должна быть задана на всем начальном множестве значений t>t0. Наличие у x(t)нулей препятствует применению метода шагов, однако с помощью простых аппроксимационных или итерационных методов можно доказать теорему о разрешимости начальной задачи, аналогичную приведенной выше. Численные методы ее решения в принципе те же, что для Если заданные функции разрывны или то понятие решения должно быть естественно обобщено.

Решение сформулированной начальной задачи строится только в направлении возрастания t. Другая ее особенность состоит в том, что многообразие решений при произвольной j(t), вообще говоря, бесконечномерное. (Исключением служат уравнения беа предыстории, для к-рых при ; напр., уравнение (2) при t0=0.) Это существенно отличает теорию Д. у. с о. а. от теории уравнений без отклонения аргумента.

В уравнении (4) запаздывание сосредоточенное. Рассматриваются также уравнения с распределенным запаздыванием, правая часть к-рьм включает интегралы

(это интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра) или, комбинированный случай,

и т. п. Наиболее общим видом Д. у. с о. а. запаздывающего типа 1-го порядка служит дифференциально-функциональное уравнение типа Вольтерра

где правая часть при каждом t>t0 представляет coбoй функционал. И для таких уравнений начальная задача разрешима.

Для Д. у. с о. а. нейтрального типа, напр.

постановка и свойства начальной задачи аналогичны указанным выше, однако свойство сглаживания отсутствует; кроме того, возможны осложнения, если переменное запаздывание t2(t) имеет нули. Начальная задача для Д. у. с о. а. опережающего типа является некорректной.

Лучше других изучены линейные автономные (т. е с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а. Уравнение (бе; подобных членов)

(все а j неравны 0) имеет частные решения x=e^pt, где рудовлетворяет характеристическому уравнению

Здесь Р(р)квазиполином; k-кратному корню уравнения (6) отвечают решения e^pt,. .., t^k-1e^pt уравнения (5). Если хотя бы одно то уравнение (6) имеет бесконечное число корней р 1, р 2, ... Чтобы уравнение (5) имело запаздывающий (нейтральный) тип, необходимо и достаточно условие