Математическая энциклопедия - геодезических геометрия

геометрия метрического пространства (G-пространства), к-рое характеризуется единственностью продолжения геодезических линий, определяемых как локально кратчайшие.

G-пространство определяется следующей системой аксиом:

1) Gесть метрич. пространство; расстояние в нем.

2) Gконечно компактно, т. е. в G ограниченные бесконечные множества имеют предельные точки.

3) Gвыпукло в смысле Менгера, т. е. для точек есть отличная от них точка z такая, что

4) Для каждой точки аесть такое , что в шаре для точек найдется отличная от них точка с (аксиома локального продолжения).

5) Если в аксиоме 4) нашлось две точки и и (аксиома единственности продолжения).

В класс G-пространств попадают, в частности, римановы пространства и финслеровы пространства.

G-пространства, в к-рых продолжение геодезической возможно в целом и любой участок геодезической остается кратчайшей, наз. прямыми пространствами. К ним относятся, напр., пространства Евклида, Лобачевского, Минковского, любое односвязное риманово пространство неположительной кривизны. В прямом пространстве и в G-пространстве нек-рого специального типа (эллиптическом) геодезическая определяется двумя точками.

В общих G-пространствах, в отличие от пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до геодезических, в отличие от пространства Евклида, не обязательно симметрична. В терминах G-пространств формулируются признаки, выделяющие пространства Евклида, сферическое пространство, пространство Минковского.

Теория G-пространств показала, что многие результаты дифференциальной геометрии не связаны с условиями дифференцируемости. Эта теория углубила изучение финслеревых пространств; позволила исследовать метризации аффинного и проективного пространств, превращающих прямые в геодезические; рассмотреть свободу выбора сети геодезических за счет метризации. Ряд нерешенных вопросов связан с возможным топологич. строением G-пространств (см. [1]).

Лит.:[1] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962. В. А. Залгаллер.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985