Математическая энциклопедия - дзета-функция

z-ф у нкция, 1) Д.-ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z-функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д.-ф. и их обобщения в виде L-функций (см. Дирихле L-функции )лежат в основе современной аналитич. теории чисел. Кроме z-функции Римана выделяются обебщенная Д.-ф. z(s, a), дзета-функция Дедекинда, конгруэнц Д.-ф. и др.

Дзета-функция Римана определяется рядом Дирихле

абсолютно и равномерно сходящимся в любой конечной области комплексной s-плоскости, для к-рой d>0. При s>1 справедливо представление в виде произведения Эйлера

где рпробегает все простые числа.

Тождественность ряда (1) и произведения (2) представляет собой одно из основных свойств функции z(s). Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие z(s)с важнейшими теоретико-числовыми функциями. Так, при s>1

где (х)число простых чисел Мангольдта функция,m(n). Мёбиуса функция,t(п) - число делителей числа га, v(n) число простых делителей числа п,l(n) Лиувилля функция. Отсюда та исключительная роль, к-рую играет z(s) в теории чисел. Как функция действительного переменного, z(s). была введена в 1737 Л. Эйлером (L. Euler, см. [1]), к-рый указал и ее разложение в произведение (2). Затем эта функция рассматривалась П. Дирихле (P. Dirichlet) и, особенно успешно, П. Л. Чебышевым (см. [2]) в связи с изучением закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства функции z(s). были обнаружены позднее, когда ее стали рассматривать как функцию комплексного переменного. Первым это сделал в 1876 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]), к-рый показал следующее.

а) z(s) допускает аналитич. родолжение на всю комплексную s-плоскость в виде

где Г(w) гамма-функция,

б) z(s) является регулярной функцией для всех значений s, кроме s=l, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1, и удовлетворяет функциональному уравнению

Это уравнение наз. функциональным уравнением Римана. Для функции

введенной Б. Риманом для исследования Д.-ф. и называемой кси-функцией Риман а, это уравнение принимает вид

а если положить

то оно принимает вид

Последняя функция .3 замечательна тем, что она является четной целой функцией, действительной для действительных t, и ее нули на действительной оси соответствуют нулям функции z(s) на прямой 0=1/2.

в) Поскольку для s>1, то в силу (4) в полуплоскости s>0 эта функция имеет лишь простые нули в точках s=2v, v=l, 2,. .. Эти нули наз. тривиальными нулями Д.-ф. z(s). Далее z(s) неравно 0 для 0<s<1. Таким образом, все нетривиальные нули Д.-ф. z(s). являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно действительной оси i=0 и относительно вертикали s=1/2 и лежат в полосе к-рая наз. критической полосой.

продолжение Дзета-функция...

Б. Риман высказал также следующие гипотезы.

1.Число N(T)нулей функции z(s). в прямоугольнике 0<i<T выражается формулой

2.Пусть р пробегает нетривиальные нули z(s). Тогда ряд сходится, а ряд расходится.

3. Функция z(s) представима в виде

4. Пусть

Тогда при

где Ихинтегральный логарифм,

5. Все нетривиальные нули Д.-ф. z(s) лежат на прямой

После Б. Римана проблема значений и, в частности, нулей Д.-ф. приобрела широкую известность и ей посвящено большое число исследований. Гипотезы Римана 2 и 3 были доказаны Ж. Адамаром (J. Hadamard, 1893), причем оказалось, что в гипотезе 3 a=1/2, b = ln2+ +lnp-1-, где СЭйлера постоянная;гипотезы 1 и 4 доказаны X. Мангольдтом (Н. Mangoldt, 1894), к-рый, кроме того, получил, для простых чисел, следующий важный аналог формулы 5. Если

то при

где r=b+ig пробегает нетривиальные нули z(s), a символ означает предел суммы при T стремящимся к бесконечности. Эта формула, как и формула (5), показывает, что проблема распределения простых чисел в натуральном ряду тесно связана с расположением нетривиальных нулей функции z(s).

Последняя гипотеза 5 не доказана и не опровергнута. Это знаменитая Римана гипотеза о нулях Д.-Ф.

Функция z(s)однозначно определяется своим функциональным уравнением. Точнее (см. [4]), любая функция, представимая обыкновенным рядом Дирихле и удовлетворяющая уравнению (4), при довольно широких условиях относительно ее регулярности, совпадает с z(s) с точностью до постоянного множителя.

При и постоянном h>0 для 0<s<1, x>h, y>h, 2pxy=|t| имеет место приближенное функциональное уравнение

полученное X. Харди (Н. Hardy) и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1920 (см. [4]). Это уравнение играет значительную роль в современной теории Д.-ф. и ее приложениях. Существуют общие методы получения такого рода результатов не только для класса Д.-ф., но и вообще функций Дирихле, обладающих функциональным уравнением риманова типа (3). Наиболее совершенный из них указан в [5]; в случае z(s)он приводит, при любом t с |argt|<p/2, к соотношению

где F(z, x) неполная гамма-функция;при

получается приближенное уравнение (6); при t=1 это соотношение совпадает с исходной формулой (3).

Главной проблемой в теории Д.-ф. является проблема расположения ее нетривиальных нулей и вообще значений в области К числу основных направлений в исследованиях Д.-ф. относятся: определение возможно более широкой области слева от прямой s= 1, где проблема порядка и средних значений Д.-ф. в критич. полосе; оценки числа нулей Д.-ф. на прямой s= 1/2 и вне этой прямой и т. д.

Первый нетривиальный результат о границе нулей Д.-ф. был получен Ш. Ж. Балле Пуссеном (Ch. J. La Vallee-Poussin) в 1896; он показал, что существует такая постоянная А>0, что

Дальнейшие продвижения в этом направлении связаны с приближенным уравнением (6) и развитием методов оценок тригонометрия, сумм.

Самый мощный метод оценок такого рода принадлежит И. М. Виноградову (см. Виноградова метод). Последняя (к 1978) граница области, свободной от нулей Д.-ф., получена И. М. Виноградовым в 1958 (см. [7]). Она имеет вид (7) с Для простых чисел ей соответствует формула

Существует определенная связь между ростом модуля функции z(s) и отсутствием нулей в окрестности прямой s=1. Так, результат (7) с является следствием оценок

С другой стороны, известно (см. [4]), что

и, если верна гипотеза Римана, то эти пределы, соответственно, не больше, чем 2е ^С и

Порядок дзета-функции в критической полосе есть число h(s), означающее нижнюю границу таких чисел v, что z(s+it) = O(|t|^v). При s>1, h(s)=0, a при s<0 имеет место

Точные значения функции h(а)для неизвестны.

Простейшее предположение Линделёфа гипотезасостоит в том, что

Это эквивалентно утверждению, что

При справедлива оценка

Последняя известная (к 1978) оценка z(s) на прямой (см. [4]) далека от ожидаемой оценки (8); она имеет вид

Проблема среднего значения дзета-функции состоит в определении свойств функции

при для любого заданного s и k=1, 2, ... Результаты имеют приложения при изучении проблемы нулей Д.-ф. и непосредственно в теории чисел. Доказано, что (см. [4])

При (см. [4])

В случаях k>2 известно только, что при

где tk(n) число представлений п в виде кцелых положительных сомножителей, и что асимптотич. соотношение

для s>¹/2 является эквивалентом гипотезы Линделёфа. Важное место в теории Д.-ф. занимает проблема оценки функции N(s, T), означающей число нулей b+ig функции z(s) при b>s,В основе современных оценок N (s, Т )лежат теоремы о выпуклости средних значений аналитич. функций, применяемые к функции

Если для нек-poro Х=Х(s, Т),

I

при равномерно для s>a, где l(s).положительная невозрастающая функция с ограниченной производной, а постоянная, то

равномерно для

Известно также, что если при

то равномерно для

Эти два предложения позволили получить (см. [4]) следующие плотностные теоремы о нулях дзета-функции:

равномерно для

с привлечением иных соображений в [8] получена плотностная теорема:

если справедлива гипотеза Линделёфа, то

О нулях дзета-функции на прямой По гипотезе Римана, все нетривиальные нули Д.-ф. лежат на прямой Тот факт, что на. этой прямой Д.-ф. имеет бесконечно много нулей, впервые был доказан X. Харди в 1914 (см. [4]) на основе формулы Рамануджана

Последний результат принадлежит А. Сельбергу (A. Selberg, 1942; см. [4]): число N0(T)нулей z(s), имеющих вид удовлетворяет неравенству

Это означает, что число нулей Д.-ф. на прямой s=¹/2 имеет тот же порядок роста, что и число всех ее нетривиальных нулей:

Относительно нулей Д.-ф. на этой прямой известны и другого рода результаты. Приближенное функциональное уравнение позволяет фактически вычислить (с нек-рой степенью точности) значения ближайших к действительной оси нулей z(s). На основе этого метода на ЭВМ вычислены нули z(s) в прямоугольнике . Их число равно 3,5.10⁶, и все они лежат на прямой Ординаты первых шести нулей с точностью до второго десятичного знака равны 14,13; 21,02; 25,01; 30,42; 32,93; 37,58.

Вообще, расстояние между соседними нулями z(s) оценивается теоремой Литлвуда (1924): для любого достаточно большого Тфункция z(s) имеет такой нуль b+ig, что

Обобщенная дзета-функция определяется для 0<a<1 рядом

При a=1 она обращается в дзета-функцию Римана. Аналитическое продолжение на всю плоскость осуществляется формулой

где интеграл берется по контуру L, представляющему собой путь из бесконечности по верхнему краю разреза положительной действительной оси до нек-рого фиксированного 0<r<2p, затем вдоль окружности радиуса rпротив часовой стрелки и снова в бесконечность по нижнему краю разреза. Функция z(s, а)регулярна всюду, кроме точки s=l, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Она играет важную роль в теории L-функций Дирихле (см. [9], [10]).

Дзета-функция Дедекинда аналог дзета-функции Римана для полей алгебраич. чисел, введенный Р. Дедекиндом (см. [11]).

Пусть Кполе алгебраических чисел степени n=r1+2r2>1, где r1число действительных, r2число пар комплексно сопряженных полей в k;пусть далее D дискриминант, hчисло классов дивизоров, R-регулятор поля к, gчисло содержащихся в ккорней из 1.

Дзета-функция Дедекинда zk(s)поля k. определяется рядом

где U пробегает все целые отличные от нуля дивизоры поля к,норма дивизора U. Этот ряд абсолютно и равномерно сходится при d>0, определяя аналитич. функцию, регулярную в полуплоскости s>1. При s>1 будет

где f(m) число целых дивизоров поля kс нормой m, t п (т)число представлений тв виде пнатуральных сомножителей.

При s>1 имеет место тождество Эйлера где B пробегает все простые дивизоры поля k.

Основные свойства дзета-функции Дедекинда (см. [11]).

1) zk(s) регулярна на всей комплексной плоскости, кроме точки s=l, где она имеет простой полюс с вычетом

2) zk(s) удовлетворяет функциональному уравнению

где

3) При r=r1+r2-1>0 в точке s=0 функция zk(s)имеет нуль порядка r; при r=0; в точках s=2v, v=l, 2, ..., дзета-функция Дедекинда zk(s) имеет нули порядка r+1, в точках s=-2v-1 при r2>0 нули порядка r2, а при r2=0 не равна нулю. Это тривиальные нули функции zk(s).

4) Все остальные нули функции zk(s) лежат в критич. полосе

Основная гипотеза состоит в том, что все нетривиальные нули функции zk(s) находятся на прямой s=1/2. Установлено, что zk(s) не имеет нулей на прямой s=1. Более того, существует абсолютная положительная постоянная Аи зависящая от параметров поля кпостоянная X, обладающие тем свойством, что

Вообще, в случае фиксированных параметров поля кдля zk(s) имеют место многие результаты, аналогичные результатам для дзета-функции Римана. Однако в общем случае теория дзета-функции Дедекинда сложнее, поскольку она включает в себя и теорию Дирихле L-функций. Так, неизвестно (1978), имеют ли дзета-функции Дедекинда действительные нули между 0 и 1. Точная зависимость между дзета-функцией Дедекинда и L-рядами рационального поля имеет следующий вид. Пусть k*минимальное поле Галуа, к-рому принадлежит к, Qгруппа Галуа поля к*, hчисло классов группы Q,ciпростые характеры группы Q, Тогда

где z(s) дзета-функция Римана, Lсуть L-ряды Артина, ci=ci(k)целые положительные числа, к-рые определяются свойствами относительной группы Галуа поля к*. В частности, если ккруговое расширение, то k* = k, h=j(n), ci=1, и L-ряды Артина становятся обычными L-рядами Дирихле.

Наряду с дзета-функцией Дедекинда zk(s) рассматриваются и zk(s; Hj) - дзета-функции Дедекинда класса дивизоров Hj поля к. Эти функции определяются теми же рядами, что и zk(s), но только пробегает не все, а лишь целые дивизоры, к-рые принадлежат заданному классу Hj. Функции zk(s; Hj )обладают свойствами, близкими свойствам zk(s). Справедлива формула

Дзета-функции Дедекинда лежат в основе современной аналитич. теории дивизоров полей алгебраич. чисел. Здесь они играют такую же роль, какую играет дзета-функция Римана в теории чисел рационального поля.

Аналогом дзета-функции Дедекинда для полей алгебраич. функций от одного переменного с конечным полем констант является конгруэнц дзета-функция, или дзета-функция АртинаШмидта (см. ниже Дзета-функция в алгебраической геометрии).

Лит.:[1] Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, 2 изд., т. 1, пер. с латин., М., 1961; [2] Чебышев П.