Математическая энциклопедия - пучок

1) П. предпучок F такой, что для всякого объединения открытых подмножеств Ul. топологич. пространства Xвыполнены следующие условия: 1) если ограничения на каждое Ul элементов sи s' из F(U).совпадают, то s'=s";2) если таковы, что для любой пары индексов l, m ограничения sl и sm на совпадают, то существует элемент , ограничения к-рого на все Ul. совпадают с sl. Всякий П. на Xизоморфен П. ростков непрерывных сечений некоторого накрывающего пространства над X, к-рое определяется однозначно с точностью до изоморфизма (под накрывающим пространством понимается непрерывное отображение E на X, являющееся локальным гомеоморфизмом), поэтому под П. обычно понимается также и само накрывающее отображение (см. Пучков теория).

Е. Г. Спляренко.

2) П.однопараметрическое семейство линий на плоскости или поверхностей в пространстве, линейно зависящее от параметра. Пусть F1 и F2 - функции двух переменных, непропорциональные друг другу. Семейство линий на плоскости, определяемых уравнением

при всевозможных значениях параметров l1 и l2 (кроме l1=0, l2=0), представляет собой П. (фактически П. зависит от одного параметра l1 : l2). Аналогично записывается уравнение П. поверхностей в пространстве. Два уравнения F1=0, F2=0 дают два элемента П. (две линии или две поверхности), к-рые определяют весь П. Каждые два элемента П. пересекаются по одному и тому же множеству точек носителю. Носитель П. может содержать как действительные, так и мнимые точки. Если исходные кривые П. являютcя алгебраич. кривыми порядков ти п, то носитель состоит из тп точек (действительных или мнимых, собственных или несобственных).

Пучок прямых множество всех прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через фиксированную точку (собственный П.) или параллельных фиксированной прямой (несобственный П.). Уравнение П. прямых имеет вид

Пучок плоскостей множество всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую (собственный П.) или параллельных нек-рой фиксированной плоскости (несобственный П.). Уравнение П. плоскостей имеет вид

Пучок окружностей однопараметрическое семейство окружностей, линейно зависящее от параметра. П. окружностей содержит окружности и одну прямую. Носителем (собственного) П. окружностей являются две круговые точки и две собственные точки а и b. Если , то П. окружностей

можно определить как множество окружностей (считая прямые окружностями бесконечного радиуса), проходящих через точки аи b;если а=b, нужно дополнительно требовать, чтобы окружности касались друг друга в точке а. Если а и bдействительные и различные, П.

окружностей наз. эллиптическим (рис. 1), если совпавшие (действительные) параболическим (рис. 2), если мнимые (различные) гиперболическим (рис, 3). Несобственным П. окружностей наз. совокупность концентрических окружностей (рис. 4).

У каждого собственного П. окружностей существует так наз. радикальная ось - прямая, каждая точка к-рой

имеет одинаковую степень точки (различную для различных точек) относительно всех окружностей П. Радикальная ось эллиптического П. проходит через общие точки окружностей; параболического является их общей касательной; гиперболического линией центров двух окружностей, ортогональных ко всем окружностям П. Центры окружностей П. лежат на прямой, перпендикулярной радикальной оси. Точка пересечения линии центров П. и его радикальной оси наз. центром П. Степень центра П. относительно любой окружности П. одинакова и наз. степенью П. Если ось абсцисс является линией центров окружностей П., а ось ординат радикальной осью П., то уравнение произвольной окружности П. имеет вид

где t - параметр, определяющий данную окружность, р - степень П. Для эллиптического П. р<0, для параболического П. р=0, для гиперболического р>0 (степень несобственного П. можно считать бесконечной).

Окружности, ортогональные всем окружностям данного П., сами образуют П.; про этот П. говорят, что он сопряжен с данным. Эллиптический П. сопряжен с гиперболическим, параболический с параболическим.

Любой П. окружностей является пересечением двух сеялок окружностей.

Пучок сфер одиопараметрическое семейство сфер, линейно зависящее от параметра. Любые две сферы П. пересекаются но нек-рой окружности действительного, нулевого или мнимого радиуса. В первом случае П. сфер наз. эллиптическим, он состоит из всех сфер, проходящих через данную окружность; во втором параболическим, П. состоит из всех сфер, касающихся друг друга в общей точке; в третьем гиперболическим, П. состоит из всех сфер, ортогональных к нек-рым трем данным сферам, пересекающимся в двух точках. У П. сфер имеется так наз. радикальная плоскость, каждая точка к-рой имеет одинаковую степень (различную для разных точек) относительно сфер П.; центры всех сфер П. лежат на одной прямой, перпендикулярной радикальной плоскости.

П. офер является пересечением трех сетей сфер, центры к-рых не лежат на одной прямой.

В проективной геометрии алгебраическим пучком прямых наз. множество всех прямых проективной плоскости, координаты u1, u2, u3 к-рых удовлетворяют уравнению F (u1, u2, u3)=0, где F(u1, u2, u3) - не равный тождественно нулю многочлен, однородный относительно переменных u1, u2, u3;степень многочлена Fназ. степенью (или порядком) П. прямых. Алгебраический П. прямых первого порядка задается уравнением a1u1+aau2+a3u3=0 и представляет собой множество всех прямых, проходящих через точку с координатами (a1, a2, а 3).

Алгебраический П. прямых второго порядка задается уравнением

где fijдействительные числа, среди к-рых по крайней мере одно отлично от нуля. Если дискриминант d=|fij|, i=1, 2, 3, отличен от нуля, П. прямых второго порядка наз. невырожденным, если d=0 вырожденным. Каждый невырожденный П. второго порядка является множеством касательных к невырожденной линии второго порядка; каждая невырожденная линия второго порядка является огибающей нек-рого невырожденного П. второго порядка.

Лит.:[1] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973. А. Б. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985