Математическая энциклопедия - поворотов диаграмма

поверхность в эллиптическом пространстве Э ³, определяемая изометрич-ными гладкими поверхностями Fи F* в евклидовом пространстве Е ³ аналогично тому, как определяется вращений индикатриса для бесконечно малых изгибаний в Е ³. О поверхности в эллиптич. пространстве, совпадающей с П. д., впервые упомянул Л. Бианки (L. Bianchi) при исследовании сферич. изображения основания изгибания поверхностей, показавший, что оно совпадает с изображением в смысле Клиффорда асимптотич. линий П. д.

Пусть Fи F * - изометричные гладкие одинаково ориентированные поверхности. В соответствующих но изометрии точках Ми М* триэдры, образованные касательными векторами xu, xv и х и, xv к соответствующим по изометрии парам кривых у=const и и=const и нормалями n и n*, равны, т. е.

и потому получаются один из другого поворотом вокруг оси с направляющим ортом на угол c. (определяемый с точностью до 2p).

Пусть

кватернион, по модулю равный 1 и определяемый с точностью до знака, представляющий указанный поворот. Совокупность таких кватернионов, параметризованная точками (или ), определяет множество точек в эллиптич. пространстве, называемое диаграммой поворота для изометричных поверхностей Fи F*. Напр., если Fи F* - изометричные куски цилиндров, то П. д.кусок поверхности Клиффорда, причем круглым цилиндрам соответствует минимальная поверхность Клиффорда. Если |c|<p, то вне П. д. есть эллиптич. плоскость, и при геодезич. отображении эллиптич. пространства в евклидово:

образом П. д. является индикатриса вращений нек-рого бесконечно малого изгибания срединной поверхности, соответствующей Fи F* (см. Кон-Фоссепа преобразование).(при условии |c|<p она регулярна).

Свойства П. д. для изометричных поверхностей положительной гауссовой кривизны аналогичны свойствам индикатрисы вращений: напр., удельная внутренняя кривизна П. д. всюду отрицательна, и потому она играет при исследовании изометрии выпуклых поверхностей такую же роль, что и индикатриса вращений. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985