Математическая энциклопедия - модулярная кривая

полная алгебраич. кривая , униформизуемая подгруппой конечного индекса модулярной группы Г; точнее, М. к. есть полная алгебраич. кривая, получаемая из факторпро-странства , где Нверхняя полуплоскость, присоединением конечного числа параболич. точек (классов эквивалентности относительно рациональных точек границы области Н). Наиболее известные примеры подгрупп конечного индекса в Г конгруэнц-подгруппы, содержащие для нек-рого целого главную конгруэнц-подгруппу уровня N, представимую матрицами

(см. Модулярная группа). Наименьшее такое Nназ. уровнем подгруппы . В частности, подгруппа , представимая матрицами, к-рые сравнимы с верхними треугольными матрицами по mod N, имеет уровень N. Каждой подгруппе конечного индекса соответствует накрытие М. к. , к-рое разветвлено только над образами точек . Для конгруэнц-подгрупп ветвление этого накрытия позволяет определить род М. к. , доказать существование подгрупп Г конечного индекса в Г, не являющихся конгруэнц-подгруппами (см. [4] т. 2 и [2]). Род кривой равен 0 для и равен

р простые, при . М. к. всегда определена над полем алгебраич. чисел (обычно над или его круговым расширением). Рациональные функции на М. к. поднимаются до модулярных функций (высшего уровня) и образуют поле; автоморфизмы этого, поля изучены (см. [2]). Голоморфная дифференциальная форма на М. к.задается на Ндифференциалом (где голоморфная функция), инвариантным относительно преобразований при этом есть модулярная форма веса 2 относительно Г. Дзета-функция М. к. есть произведение Меллина преобразований модулярных форм и, следовательно, она имеет мероморфное продолжение и удовлетворяет функциональному уравнению. Этот факт послужил отправной точкой теории Ленглендса Вейля о связи модулярных форм и рядов Дирихле (см. [7], [8]). В частности, есть предположение, что каждая зллиптич. кривая над полем (кондуктора N)униформизуется модулярными функциями уровня N. Гомологии М. к. связаны с модулярными символами, что позволяет исследовать арифметику значений дзетафункции М. к. в центре критич. полосы и построить р-адическую дзета-функцию М. к. (см. [1]).

М. к. параметризует семейство эллиптич. кривых, являясь их многообразием модулей (см. [7] т. 2). В частности, для точки факторпространства взаимно однозначно соответствуют парам, состоящим из эллиптич. кривой (аналитически эквивалентной комплексному тору ) и точки порядка Nна (образа точки z/N).

Над каждой М. к. имеется естественное алгебраич. расслоение на эллиптич. кривые, компактифицированное вырожденными кривыми над параболич. точками М. к. . Его расслоенные степени , где целое , наз. многообразиями Куги (см. [3], [5]). Дзета-функции многообразий связаны с преобразованиями Меллина модулярных форм, а их гомологии с периодами модулярных форм (см. [3], [7]).

Рациональные точки на М. к. соответствуют эллиптич. кривым, имеющим рациональные точки конечного порядка (или рациональные подгруппы точек), их описание (см. [6]) позволило решить проблему кручения эллиптйч. кривых над

Исследование геометрии и арифметики М. к. основано на использовании группы автоморфизмов проективного предела кривых по убывающим , края (по существу) совпадает с группой над кольцом Арациональных аделей. На каждой М. к. это дает нетривиальное кольцо соответствий (кольцо Гекке), имеющее приложения в теории модулярных форм (см. [2]).

Лит.:[1] Манин Ю. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, №1, с. 19-66; [2] Шимура Г., Введение в арифметическую теорию автоморфныхфункций, пер. с англ., М., 1973; [3] Шокуро в В. В., "Матем. сб.", 1976, т. 101, № 1, с. 131 1 57; [4] Кlеin F., Pricke R., Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Bd 1-2, Lpz., 1890-92; [5] Кuga M., ShimuraG., "Ann. Math.", 1965, v. 82, p. 478539; [6] Mazur В., Serre J.-P., в кн.: Seminaire Bourbaki, 1974/75, В.-[u. a.], 1976, p. 238-55; [7] Modular functions of one variable, [v.] 1-6, . В.Hdlb.-N. Y., 1973-77;, [8] Weil A., "Math. Ann.", 1967, Bd 168, S. 149-56... ,.

А. А. Панчишкин, А. И. Паршин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985