Математическая энциклопедия - модулей проблема

классическая проблема о рациональности или унирациональности многообразия модулей алгебраич. кривых рода g.

Римановы поверхности рода g(рассматриваемые с точностью до изоморфизма) зависят от 3g-3 комплексных параметров модулей (см. Модули римановой поверхности). Множество классов неособых проективных кривых рода gнад алгебраически замкнутым полем kобладает структурой квазипроективного алгебраич. многообразия (см. [3] [5]).

Многообразие Mg в случаях g=0 и 1 устроено просто: M0 состоитиз одной точки, а изоморфно M1 аффинной прямой . Поэтому М. п. относится к кривым рода и формулируется следующим образом: является ли рациональным или хотя бы унирациональным многообразие модулей кривых рода Рациональность установлена только для g=2(см. [2], там же явно описано многообразие М 2).

Для доказательства унирациональности многообразий построен [6] общий метод, к-рым, в частности, доказана унирациональность Mg для всех Доказана унирациональность

Часто М. п. трактуется более широко (см., напр., (5]): к ней относят весь комплекс задач, связанных с существованием пространств модулей тех или иных алгебраич. объектов (многообразий, векторных расслоений, эндоморфизмов и т. д.), с изучением их различных алгебро-геометрич. свойств и с техникой компактификации пространств модулей (см. Модулей теория).

Лит.:[1] Hartshorne R., Algebraic geometry, N. Y., 1977; [2] Igusa J., "Ann. Math.", 1960, v. 72, № 3, p. 61249; [3] Mumfоrd D., Geometric invariant theory, В.[а.