Математическая энциклопедия - модулярная функция

эллиптическая модулярная функция, одного комплексного переменного автоморфная функция комплексного переменного ассоциированная с группой Г всех дробно-линейных преобразований вида

где целые действительные числа (эта группа наз. модулярной). Преобразования группы Г переводят действительную ось в себя, и областью определения М. ф. можно считать верхнюю полуплоскость Группа Г порождается двумя образующими . Фундаментальная область G модулярной группы изображена на рис. 1;

это криволинейный четырехугольник ABCDА с вершинами , , , две стороны к-рого А В и D Аотрезки прямых со ответственно a BDдуга окружности . Участки границы АВ и ВС включаются в G,a CD и DA не включаются. Образы области Gпри всевозможных отображениях группы Г покрывают всю полуплоскость без пересечений.

Изучение М. ф. началось в 19 в. в связи с изучением эллиптич. функций и предшествовало появлению общей теории автоморфных функций. В теории М. ф. в качестве основных модулярных форм используются следующие тета-ряды:

где , а звездочка означает, что нулевая пара ( т 1 , т 2 )=(0, 0) отбрасывается. Согласно терминологии К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) это относительные инварианты, играющие важную роль в его теории эллиптич. функций (см. Вейер штрасса эллиптические функции), а А наз. также дискриминантом. С точки зрения теории автоморфных функций это автоморфные формы соответственно веса 2, 3 и 6, ассоциированные с модулярной группой. Основная М. ф. имеет вид

Функция J(z) наз. также абсолютным инвариантом. Она регулярна в верхней полуплоскости, а внутри фундаментальной области Gпринимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того,

В теории эллиптич. функций М. ф. J(z) играет важную роль, позволяя по заданным вейерштрассовым относительным инвариантам определить периоды а следовательно, и построить все эллиптич. функции Вейерштрасса. Если t единственное в фундаментальной области решение уравнения то при имеем при а=0 имеем и определяется из уравнения

при b=0 имеем t=i, и w1 определяется из уравнения

Для построения Якоби эллиптических функций удобнее, вместо J(z), функция

также называемая М. ф. На самом деле l(z). является автоморфной функцией только относительно подгруппы Г 2 модулярной группы Г, причем к Г 2 относятся все те преобразования вида (1), у к-рых (в качестве дополнительного условия) aи dнечетные числа, bи с четные. Фундаментальная область G2 группы Г 2 изображена на рис. 2;

это криволинейный четырехугольник ABOCA с вершинами A(оо), В(-1), 0, С(1),две стороны к-рого АВ и САотрезки прямых соответственно х=-1 и х=1, а ВО и ОСдуги окружностей соответственно и Участки границы слева от мнимой оси включаются в G2, а ОС и СА не включаются. Функция l(z) также регулярна в верхней полуплоскости Im z>0. Внутри области G2 она принимает каждое конечное значение, кроме 0 и 1, в точности один раз; кроме того, При заданном модуле эллиптич. функций Якоби кдля их построения необходима величина t=w3 / w1. или к-рая однозначно определяется из уравнения . Практически, в нормальном случае 0<k<1 определяют сначала где а затем строят решение этого уравнения в виде ряда М. ф.связаны формулой