Математическая энциклопедия - модальность

свойство суждения, характеризующее степень его достоверности. Различные М. и взаимосвязь между ними изучаются модальной логикой.

М. "необходимо" и "возможно" были введены в логику еще Аристотелем (4 в. до н. э.), к-рый, однако, не придавал им точного смысла. Эти М. наз. основными и обозначаются соответственно символами и (иногда Lи М). Различные комбинации основных М. и отрицания также являются М. Двойственной к М. наз. М. , получаемая из заменой каждого вхождения на , и обратно. В подавляющем большинстве систем модальной логики для М. и двойственной ей М.имеет место эквивалентность

В принципе можно образовать бесконечное число комбинаций из однако часто в конкретных системах число попарно не эквивалентных М. оказывается ограниченным (ввиду соотношения (*) и наличия аксиом, упрощающих нек-рые М. или сводящих одни М. к другим). Напр., в системе S3 имеется ровно 40 различных М., а в системе S4 их только 12:

а также М., двойственные этим. В системе S5 имеется всего 4 М.:. С другой стороны, в системе Т модальной логики, а также в S1 и S2 число М. бесконечно и, более того, нет редукций М., т. е. две положительные (не содержащие знака ) М. и эквивалентны тогда и только тогда, когда

Иногда к М. относят (формализованные в соответствующих теориях) такие понятия, как "истинно", "доказуемо", "опровержимо", а также связанные со временем "будет", "всегда было" и т. п.

Лит. см. при ст. Модальная логика.

С. К. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985