Математическая энциклопедия - модулей категория

категория mod-R, объекты к-рой правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей, а, морфизмы гомоморфизмы R-модулей. Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в нек-рую М. к.

Если кольцо целых чисел, то mod-Rесть категория абелевых групп, а если, R = D-тело (поле), то mod-R есть категория векторных пространств над D.

Свойства М. к. mod-R отражают ряд важных свойств кольца R(см. Гомологическая классификация колец), с этой категорией связан ряд важных гомологич. инвариантов кольца, в частности его гомологические размерности. Центр М. к. mod-R (т. е. множество естественных преобразований тождественного функтора категории) изоморфен центру кольца R.

В теории колец, гомологич. алгебре и алгебраич. K-теории изучаются различные подкатегории М. к., В частности подкатегория конечно порожденных проективных R-модулей и ассоциированные с ней K- функторы (см. Алгебраическая К-теория). По аналогии с двойственностью Понтрягина изучаются двойственности между полными подкатегориями М. к., в частности между подкатегориями конечно порожденных модулей. Напр., установлено, что если Rи Sнёте-ровы кольца и имеет место двойственность между конечно порожденными правыми R-модулями и конечно порожденными левыми S-модулями, то существует би-модуль такой, что данная двойственность эквивалентна двойственности, определяемой функторами

кольцо эндоморфизмов изоморфно S, а изоморфно R, бимодуль U конечно порожденный инъективный кообразующий (и как R-модуль, и как S-модуль), кольцо Rполусовершенно. Наиболее важным классом колец, возникающим при рассмотрении двойственности модулей, является класс квазифробениусовых колец. Артиново слева кольцо Rбудет квази-фробениусовым тогда и только тогда, когда отображение

определяет двойственность категорий левых и правых конечно порожденных R-модулей.

Лит.:[1] Басс X., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., M.,1973; [2] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категории и функторов, пер. с англ., М., 1972; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1-2, пер. с англ., М., 1977 79.

А. В. Михалев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985