Математическая энциклопедия - когомотопическая группа

одно из обобщений одномерной группы когомологпй, понятие, в нек-ром смысле дуальное понятию гомотопической группы.

Пусть pⁿ (Х)=[ Х, Sⁿ] - множество гомотопич. классов непрерывных отображений пунктрированного топологич. пространства Xв пунктированную сферу. Множество p ^п (Х)не всегда имеет естественную структуру группы (это так лишь при n=1, 3, 7, поскольку тогда Sⁿ является H-пространством). Группа p¹ (Х)совпадает с Н ¹( Х, Z).

Если Xклеточное разбиение размерности, не превосходящей 2n-2, то на множестве pⁿ (Х)следующим образом] задается структура группы. Для [a], [b] pⁿ (Х)рассматривается отображение

здесь диагональное отображение, а, представители классов [a], [b]. Ввиду ограничения на размерность Xсуществует единственный гомотопич. класс отображений (здесь букет пунктированных сфер), композиция к-рого с естественным включением SⁿSⁿ SⁿS ^п совпадает с гомотопич. классом отображения Гомотопич. класс отображения

где складывающее отображение, полагается равным Относительно описанной операции множество л" (Х)представляет собой абелёву группу, поэтому часто функтор p ^п рассматривается лак функтор, определенный лишь на категории клеточных разбиений размерности, не превосходящей 2n-2, со значениями в категории абелевых групп. Для клеточных разбиений Xразмерности, меньшей п,p ^п (Х) = 0. Таким образом, функтор p ^п представляет интерес в размерностях от пдо 2n-2, т. е. в так наз. стабильных размерностях.

Если то где SXнадстройка над X. Этот изоморфизм задается функтором надстройки: = [SX, Sⁿ⁺¹]. Если Xпроизвольное конечномерное клеточное разбиение, то при достаточно большом Nмножество p ^п+N(S^NX). имеет структуру группы (при -2n+2 выполнено соотношение dim (S^NX)=N+dim x2(n+N)-2. Группа = p ^п+N(S^NX). при Ndim X-2n+2 наз. стабильной когомотопической группой клеточного разбиения, она определена для любого конечномерного клеточного разбиения. Группы определены при всех целых n (а не только при положительных). Если в качестве Xвзять две точки (одна из к-рых отмечена), то при n>0, a стабильные гомотопич. группы сфер при n<0.

Если (X, А)пара клеточных разбиений размерности т, то при определена относительная когомотопическая группа p ^п( Х, А)=p ^п( Х/А). Имеет место точная последовательность абелевых групп

продолжающаяся вправо неограниченно, однако, начиная с нек-рого места, все группы будут нулевыми: pⁱ( Х, А) =pⁱ (Х) =pⁱ (А) = 0 при i>m. Влево эта последовательность продолжается лишь до тех значений i, при к-рых В этой последовательности гомоморфизмы и индуцированы естественными отображениями и

Гомоморфизм устроен следующим образом. Для класса и для его представителя выбирается продолжение отображения f, заданного на подпространстве со значениями в Отображение Fиндуцирует отображение гомотопич. класс к-рого (элемент группы pⁱ⁺¹( Х, А ))ставится в соответствие с классом

Если (X, А)пара пунктированных клеточных разбиений конечной размерности, то для стабильных К. г. имеет место точная последовательность

продолжающаяся неограниченно в обе стороны. Это обстоятельство позволяет превратить стабильные К. г. в обобщенную теорию когомологий. Для произвольного (непунктированного) конечномерного клеточного разбиения Xпусть где пунктированное клеточное разбиение, полученное из Xнесвязным присоединением отмеченной точки. Функтор определенный на категории конечномерных клеточных разбиений, задает обобщенную теорию когомологий, если положить

Значение на точке этой теории совпадает со стабильными гомотопич. группами сфер.

К. г., так же как и гомотопические, не могут быть явно вычислены даже в самых простых случаях, и это сильно ограничивает возможность практич. применения описанных выше функторов.

Лит.:[1] Xу Сы-цзян, Теория гомотопий, пер. с англ., М., 1964; [2] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

А. Ф. Харшиладзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985