Математическая энциклопедия - сходимость

одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек-рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких-либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п. Понятие С. возникает, напр., при изучении математич. объектов с помощью приближения их в каком-то смысле более простыми. Так. для вычисления площади круга используется последовательность площадей правильных многоугольников, вписанных в этот круг; для приближенных вычислений интегралов от функций применяются аппроксимации их кусочно линейными функциями или, более общо, сплайнами и т. п. Можно сказать, что математич. анализ начинается с того момента, когда в множестве тех или иных элементов введено понятие С.

I. Сходимость последовательностей. В одном и том же множестве элементов можно вводить разные понятия С. его элементов в зависимости от изучаемого вопроса. Большую роль использование понятия С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. п.), в частности при нахождении их численных приближенных решений. Например, с помощью последовательных приближений метода можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать при определенных условиях существование решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так в уравнений с частными производными существует теория различных сходящихся разностных методов их численного решения, удобных для их использования на современных вычислительных машинах.

Если в нек-ром множестве X введено понятие С. последовательностей его элементов, т. е. в совокупности всех указанных последовательностей выделен нек-рый класс, каждая последовательность к-рого названа сходящейся, и всякой сходящейся последовательности поставлен в соответствие нек-рый элемент из множества Х, наз. ее пределом, то само множество Хназ. пространством со сходимостью.

Обычно от понятия С. последовательностей требуется, чтобы оно обладало следующими свойствами:

1) каждая последовательность элементов множества Х может иметь не более одного предела;

2) всякая стационарная последовательность {х, х, . . . , х, . . .}, является сходящейся и ее пределом является элемент х;

3) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также является сходящейся и имеет тот же предел, что и вся последовательность.

При выполнении этих условий пространство Xназ. часто пространством со сходимостью по Фреше. Примером такого пространства является всякое хаусдорфово топологич. пространство, а следовательно, любое метрич. пространство, в частности счетно-нормированное, а потому и просто нормированное (но отнюдь не всякое полунормированное) пространство. Для того чтобы последовательность сходилась в полном метрич. пространстве, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Примером неметризуемого пространства со сходимостью по Фреше является пространство всех действительных функций, определенных на числовой оси для к-рых С. последовательности п=1, 2, . . . , означает ее С. при каждом фиксированном

Если в пространстве со сходимостью по Фреше Xопределить для каждого его подмножества замыкание как совокупность всех точек пространства X, к-рые являются пределом последовательностей точек, принадлежащих множеству А, то пространство Xможет не оказаться топологич. пространством, т. к. не обязательно замыкание замыкания всякого множества Апри данном определении будет совпадать с

Если в одном и том же множестве введены два определения С. и всякая последовательность, сходящаяся в смысле первого определения, сходится и в смысле второго, то говорят, что вторая сходимость сильнее первой. Во всяком пространство со С. Xможно ввести более сильную С. так, что порожденная ей операция замыкания превратит уже X в топологич. пространство, короче говоря, каждое пространство со С. может быть вложено в топологич. пространство, состоящее из тех же точек.

Во всяком топологич. пространстве определено понятие С. последовательностей его точек, но этого понятия недостаточно, вообще говоря, для того чтобы описать замыкание любого множества в этом пространстве, т. е. дать определение точек прикосновения множества, и, следовательно, недостаточно, чтобы полностью описать топологию данного пространства. Чтобы это стало возможно, вводится понятие сходящейся обобщенной последовательности .

Частично упорядоченное множество наз. направленным множеством, если за любыми двумя его элементами имеется следующий за ними. Отображение направленного множества в нек-рое множество Xназ. обобщенной последовательностью или направленностью в X. Обобщенная последовательность в топологич. пространстве Xназ. сходящейся к точке х 0 из X, если для каждой окрестности Uточки х 0 существует такое что для всех выполняется включение В этом случае говорят, что предел обобщенной последовательности существует и равен х 0, при этом пишут

В этих терминах замыкание множества, лежащего в топологич. пространстве X, описывается следующим образом: для того чтобы точка хпринадлежала замыканию множества необходимо и достаточно, чтобы нек-рая обобщенная последовательность точек из Xсходилась к х;а для того чтобы топологич. пространство было хаусдорфовым, необходимо и достаточно, чтобы каждая обобщенная последовательность его точек имела не более одного предела.

В терминах С. обобщенных последовательностей можно сформулировать и критерий непрерывности отображения Fтопологич. пространства Xв топологич. пространство Y: для непрерывности отображения Fв точке необходимо и достаточно, чтобы для каждой обобщенной последовательности такой, что выполнялось бы условие

II. Сходимость числовых последовательностей и рядов.

Простейшим примером, иллюстрирующим понятие С., являются сходящиеся числовые последовательности, т. е. последовательности комплексных чисел {zn}, имеющие конечные пределы, и сходящиеся числовые ряды, т.