Математическая энциклопедия - сходимость мер

понятие теории меры, задаваемое той или иной топологией в пространстве мер, определенных на нек-рой -алгебре подмножеств пространства Xили, более общо, в пространстве зарядов, т. е. счетно аддитивных действительных или комплексных функций определенных на множествах из Наиболее употребительны следующие топологии в подпространстве пространства состоящем из ограниченных зарядов, т. е. таких, что

1) В пространстве вводится норма

наз. вариацией заряда Сходимость последовательности зарядов к заряду в этой норме наз. сходимостью по вариации.

2) В пространстве рассматривается обычная слабая топология: сходимость последовательности зарядов этой топологии (слабая сходимость) означает, что для любого линейного непрерывного функционала на пространстве Эта сходимость равносильна тому, что последовательность зарядов ограничена: и для любого множества последовательность значени й Слабая сходимость последовательности зарядов n=1, 2, ... влечет сходимость интегралов для любой ограниченной измеримой относительно -алгебры функции f на X.

3) В случае, когда X - топологич. пространство, а его борелевская -алгебра в пространстве рассматривают топологию, также наз. слабой (иногда узкой) топологией. Она определяется как самая слабая из топологий в относительно к-рой непрерывны все функционалы вида

где f произвольная ограниченная непрерывная функция на пространстве X. Эта топология слабее предыдущей топологии и сходимость последовательности зарядов относительно нее (слабая или узкая сходимость) равносильна сходимости значений для любого борелевского множества для к-рого где и чертой обозначена операция замыкания множества.

4) В случае, когда X -- локально компактное топологич. пространство (а борелевская -алгебра) в пространстве рассматривают т. н. широкую топологию: сходимость последовательности зарядов (широкая сходимость) означает сходимость функционалов для любой непрерывной функции f с компактным носителем. Эта топология слабее, чем слабая топология в Аналогичная топология естественно определяется и в более широком пространстве локально ограниченных зарядов т. е. таких, что для любой точки найдется такая ее окрестность U, что

Лит.:[1] Бурбаки Н., Интегрирование. Меры, интегрирование мер, пер. с Франц, М., 1967; [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [3] Биллингслей П., Сходимость вероятностных мер, пер. с англ., М., 1977.

Р. А. Минлос.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985