Математическая энциклопедия - сходимости ускорение

(для итерационного метода) построение по рассматриваемому итерационному методу нек-рой его модификации, обладающей большей сходимости скоростью. Применяемые способы ускорения (процессы ускорения) довольно разнообразны (см. [1]-[4]) и зависят как от решаемой задачи, так и от типа итерационного метода. В тех случаях, когда итерационный метод может рассматриваться как частный случай нек-рого класса итерационных методов, содержащих свободные итерационные параметры, С. у. может быть сведено к задаче оптимального выбора этих параметров. Задача оптимизации может ставиться в различных формах, приводя, напр., к переходу от метода простой итерации

для решения системы линейных алгебраич. уравнений

или к методу Ричардсона с чебышевскими параметрами, или к методу сопряженных градиентов. Скорость сходимости подобных классич. итерационных методов зависит от числа обусловленности v(L) матрицы Lи может быть довольно медленной при больших v(L). В таких ситуациях, и в особенности для решения систем сеточных уравнений, часто используются модификации этих методов, определяемые тем, что они применяются не для (2), а для эквивалентной ей системы B^-1Lu=B^-1f, где В = В*>0 специально подобранный оператор (см. [2]-[4]).

Оператор B^-1Lявляется самосопряженным и положительным оператором в нек-ром евклидовом пространстве и скорость сходимости получающихся модификаций зависит от v(B^-1L). Подобные жо модификации применяются и для более общих задач, включая нелинейные (см. Нелинейное уравнение;численные методы решения). При их реализации важно уметь эффективно решать системы Bv=g, т. к., напр., модификация (1) сводится к соотношению

(см. Минимизация вычислительной работы).

Одним из традиционных и общих приемов С. у. для методой (1) является -процесс. Он же вместе с целым рядом других способов ускорения (см. [1]) применяется и в итерационных методах для частичной задачи на собственные значения.

При решении нелинейных задач С. у. часто достигается за счет специального выбора начального приближения на основе методов продолжения по параметру. Для атих же задач С. у. иногда осуществляется и на основе использования итерационных методов более высокого порядка (метод Ньютона Канторовича и др.).

Различные приемы С. у. применяются и в вероятностных итерационных методах типа метода Монте-Карло (см. [2]).

Лит.:[1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.Л., 1963; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, 2изд., М., 1980; [4] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.

Е. Г. Дьяконов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985