Математическая энциклопедия - тройка

монада, в категории моноид в категории функторов. Другими словами, Т. в категории наз. ковариантный функтор снабженный такими естественными преобразованиями и что следующие диаграммы коммутативны (здесь обозначает тождественный функтор категории

Иногда Т. наз. стандартной конструкцией.

Для любой пары сопряженных функторов и функтор является тройкой вместе с морфизмами и где и единица и коединица сопряжения. Обратно, для произвольной тройки существует такая пара сопряженных функторов Fи G, что T=FG, а преобразования и получаются из единицы и коединицы сопряжения описанным выше способом. Подобных различных разложений для Т. может оказаться целый класс. В этом классе имеется наименьший элемент (конструкция Клейсли) и наибольший элемент (конструкция Эйленберга Мура).

Примеры.

1) В категории множеств функтор взятия множества подмножеств произвольного множества обладает структурой Т. каждое множество X

естественно вкладывается в множество своих подмножеств, а каждому множеству подмножеств Xсопоставляется объединение этих подмножеств.

2) В категории множеств каждый основной функтор HA(X) = Н( А , X )является Т.: отображение сопоставляет каждому функцию тождественно равную х;отображение сопоставляет каждой функции от двух переменных ее ограничение на диагональ.

3) В категории R-модулей над коммутативным кольцом Rфунктор снабжается структурой Т., аналогичной структуре из

примера 2).

4) В категории топологич. пространств каждая топологич. группа Gпозволяет определить функтор к-рый является Т.: каждый элемент переходит в элемент ( х, е), где е - единичный элемент группы G, а отображение определяется равенством

Лит.:[1] Адаме Дж., Бесконечнократные пространства петель, пер. с англ., М., 1982; [2] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 13, М., 1975; [4] Мас Lanе S., Categories (or the working mathematician, N. Y.[а. о.], 1971; [5] Manes E.G., Algebraic theories, N. Y., 1976.

М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985