Математическая энциклопедия - инвариантов теория

в классическом определении алгебраическая теория (иногда называемая также алгебраической И. т.), изучающая алгебраич. выражения (многочлены, рациональные функции или их совокупности), изменяющиеся определенным образом при невырожденных линейных заменах переменных. При этом, вообще говоря, рассматривается не полная линейная группа (т. е. не все множество невырожденных линейных замен переменных), а нек-рая ее подгруппа (напр., ортогональная, симплектическая и др.). И. т. возникла под влиянием ряда задач теории чисел, алгебры и геометрии. Еще К. Гаусс (С. Gauss), занимаясь теорией бинарных квадратичных форм, поставил задачу изучения многочленов от коэффициентов формы ах ²+2bху+су ², не меняющихся при преобразовании этих коэффициентов, определяемом подстановкой вида

где ad-bg=1 и a, b, g,d целые. С другой стороны, в проективной геометрии при внутренней характеризации конфигураций и связей появляются алгебраич. выражения от проективных координат, не меняющиеся при проективной коллинеации. Предшествующей ступенью И. т. являлось также учение о детерминантах. Арифметич. к алгебраич. вопросами, так или иначе связанными с И. т., занимались К. Якоби (К. Jacobi), Ф. Эйзенштейн (F. Eisenstein), III. Эрмит (Ch. Hermite). Собственно И. т..как математич. дисциплина сложилась к сер. 19 в. Этот период характеризуется интересом к формально-алгебраич. проблемам и их приложениям к геометрии. Понятия группы, инварианта и основные задачи теории формулируются к этому времени точным образом, и постепенно становится ясно, что факты классич. и проективной геометрии есть просто выражение тождеств (сизигий) между инвариантами или ковариантами соответствующей группы преобразований. Первой работой по И. т. следует, видимо, считать "Мемуар о гипердетерминантах" А. Кэли (A. Cayley, 1846). Все обычные термины И. т.инвариант, ковариант, комитант, дискриминант и т. д.были введены Дж. Сильвестром (J. Sylvester).

Одним из первых объектов изучения И. т. были так наз. инварианты форм. Рассматривается форма степени rот nпеременных с неопределенными коэффициентами:

после линейной замены переменных

где aijдействительные или комплексные числа, она преобразуется в форму

так что указанное линейное преобразование переменных определяет нек-рое преобразование коэффициентов формы:

Многочлен ф(. . ., а i1, . . ., in, . . .) от коэффициентов формы f(x1,. . ., х п )наз. (относительным) инвариантом формы, если при всех невырожденных линейных заменах переменных выполнено соотношение

где |aij| определитель линейного преобразования, а gконстанта (вес). Если g=0, инвариант наз. абсолютным. Так, простейшим примером инварианта является дискриминант D=b²- ас бинарной квадратичной (n=r=2) формы f( х,y)=ax²+2bxy+cy², или дискриминант D=3b² с ²+6abcd-4b³d-Aac³-a²d² тернарной ( п = 2, r=3) формы f(x, y) = ax³+3bx²y+3cxy²+dy³. Если задана не одна, а несколько форм от одних и тех же переменных, то можно рассматривать многочлены Ф от коэффициентов всех этих форм, преобразующиеся указанным выше способом при линейной замене переменных,так получается понятие совместного инварианта системы форм. Напр., определитель |aij| есть совместный инвариант системы плинейных форм

Аналогичным образом может быть определен ковариант и, более общим образом,комитант.

Классич. постановка основной задачи И. т.фактически вычислить инварианты, а также дать полное их описание (то же для ковариантов). С этой целью были разработаны всевозможные формальные процессы, позволяющие строить инварианты (поляризация, реституция, тождество Капелли, W-процесс Кэли и т. п.). Кульминацией этой деятельности является создание так наз. символич. метода в И. т.некоторого формального способа вычислять все инварианты степени не выше заданной (см. [3], [6], [11]).

Развившаяся к 30-м гг. 20 в. глобальная теория полупростых групп и их, представлений позволила дать следующую наиболее общую постановку основной задачи классич. И. т. [6]. Задана произвольная группа Gи ее конечномерное линейное представление р в линейном пространстве Vнад полем к. Если х 1, . . .,х пкоординаты в V(в каком-либо базисе), то каждый элемент определяет линейную замену переменных х 1, . . ., х п;производя эту замену переменных в произвольном многочлене j( х 1, . .., х п), получают новый многочлен, так что gиндуцирует нек-рое преобразование (автоморфизм) кольца всех многочленов k[ х 1, . . ., х п]от переменных х 1, .. ., х п над полем k. Многочлен j( х 1, . .., х п), не меняющийся при всех таких преобразованиях (т.