Математическая энциклопедия - инвариантный дифференциальный оператор

оператор, не меняющий своего вида при тех или иных преооразованиях пространства, в к-ром он определен. Напр., если оператор с частными производными, записанный в некоторой системе координат ( х 1, . .., х п), а х k=jk (у), y= ( у 1 , ..., у п)некоторое преобразование координат, порождающее соответствующее отображение j* в множестве функций и(х)(каждой функции и(х)сопоставляется естественным образом функция j*u(y)), и

причем оператор Lв правой части этого равенства выражается через д/ду k так же, как оператор Lчерез д/дх k в левой, то говорят, что Lинвариантен относительно преобразования j (или Lперестановочен с оператором преобразования j*). Наиболее важен случай, когда И. д. о. инвариантен относительно нек-рой совокупности преобразований, образующей группу. Определение И. д. о. существенно усложняется при рассмотрении систем функций, преобразующихся по нек-рому представлению этой группы преобразований. И. д. о., связанные с группой Лоренца и ортогональной группой (волновой оператор, операторы Клейна Гордона, Лапласа и др.) играют важнейшую роль в математич. физике. В анализе на дифференцируемых многообразиях широко используются оператор внешнего дифференцирования d, инвариантный относительно диффеоморфизмов, и метрически сопряженный с ним оператор d, инвариантный относительно гладких преобразований, сохраняющих метрический тензор. В теории групп Ли весьма важны так наз. левоили правоинвариантные операторы относительно соответствующих сдвигов на группе.

Лит.:1] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; [3] Де-Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [4] Xелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.

А. А. Дезин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985