Математическая энциклопедия - инвариантное среднее

на группе или полугруппе G, точнее, инвариантное среднее на пространстве Xфункций на G,непрерывный линейный функционал тна замкнутом подпространстве Xпространства В(G)всех ограниченных комплекснозначных функций на G, снабженном равномерной нормой, содержащем постоянные функции и инвариантном относительно операций комплексного сопряжения, причем ти Xудовлетворяют следующим условиям: 1) пространство Xинвариантно относительно левого сдвига, т. е. если то и где xf(t)=f(xt )для всех т среднее на X, т. е.для всех и inf {f(x)}m(f)sup {f(x)} для всех действительнозначных 3) m(xf)=m(f) для всех и всех В этом случае

И. с. тназ. левоинвариантным средним; аналогично определяется правоинвариантное среднее и двустороннее И. с. на G.

Если на X = B(G)существует двустороннее И. с, то группа Gназ. аменабельной. Аменабельность группы Gсвязана с существованием инвариантных мер относительно нек-рых групп преобразований, связанных с G(см. [1]). Если Gлокально компактная топологич. группа, то на пространствах почти периодич. функций и слабо почти периодич. функций на Gсуществует нетривиальное левое И. с. С другой стороны, следующие условия эквивалентны: 1) существует левое И. с. на пространстве 2) существует левое И. с. на пространстве X = CB(G)ограниченных непрерывных комплексных функций на G;3) существует левое И. с. на пространстве Х = UCB(G)двусторонне непрерывных ограниченных комплексных функций; 4) существует двустороннее И. с. на одном из пространств СВ (G), UCB(G); 5) группа Gне имеет дополнительной серии представлений; 6) носитель регулярного представления группы Gсовпадает с дуальным пространством этой группы; 7) единичная функция на группе Gможет быть на любом компакте равномерно аппроксимирована конечными линейными комбинациями матричных элементов регулярного представления группы G;8) если m левая мера Хаара на G,v такая ограниченная комплексная регулярная борелевская мера на G, что

для всех финитных непрерывных функций f на G, то 9) для нек-рого q>1,любого е>0 и любого компакта существует неотрицательная функция удовлетворяющая условию ||xj-j||<e для всех 10) предыдущее условие выполняется для всех q>1,11) для любого e>0 и любого компакта существует такое борелевское множество что иm^-1(U).m(xUDU)<e для всех 12) любое непрерывное действие группы Gна компактном выпуклом множестве в локально выпуклом пространстве непрерывными аффинными преобразованиями имеет неподвижную точку. Локально компактная группа, удовлетворяющая любому из равносильных условий 1) 12), наз. аменабельной. Непрерывные образы аменабельных групп, замкнутые подгруппы аменабельных групп, расширения аменабельных групп с помощью аменабельных, индуктивные пределы аменабельных групп аменабельны. Равномерно ограниченное представление аменабельной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному представлению в том же пространстве. Нек-рые из перечисленных результатов могут быть распространены на случай общих топологич. групп, допускающих И. с. на пространстве ограниченных непрерывных комплексных функций. Теория И. с. и аменабельных групп имеет существенные приложения в теории динамич. систем, эргодич. теории, теории алгебр Неймана и в абстрактном гармонич. анализе.

Лит.:[1] von Neumann J., "Fundam. math.", 1929, v. 13, p. 73-116; [2] Грин ли ф Ф., Инвариантные средние на топологических группах и их приложения, пер. с англ., М. 1973; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их йредставления, пер. с франц., М., 1974.

А. И. Штерн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985