Математическая энциклопедия - инволюция

1) Эндоморфизм второго порядка, т. е. отображение объекта на себя, квадрат к-рого является единичным морфизмом (см. также Категория с инволюцией). Иногда инволюцией наз. также периодическое отображение, т. е. морфпзм, нек-рая ненулевая степень к-рого является единичным морфизмом. Минимальная из таких степеней наз. периодом И.

Часто под И. группы понимают ее элементы второго порядка.

И. в алгебре Енад полем действительных или комплексных чисел отображение алгебры Ена себя, удовлетворяющее следующим аксиомам инволюции: 1) х** = х для всех 2) (x+y)* = х*+у* для всех 3)для всех и всех чисел lиз соответствующего поля; 4) ( ху)* = у*х* для всех Алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная И., наз. симметричной алгеброй.

Лит.:[1] Коннер П.,Флойд Э., Гладкие периодичекие отображения, пер. с англ., М., 1969.

2) И. в проективной геометрии -проективное преобразование, квадрат к-рого есть тождественное преобразование. Не тождественная И. действительной проективной прямой имеет только две неподвижные точки (гиперболическая И.) либо не имеет неподвижных точек (эллиптическая И.). Если А и Внеподвижные точки гиперболической И., то соответствующие друг другу точки М и М' гармонически разделяют пару А, В. На проективной плоскости всякая И. есть гиперболическая гомология.

Лит.: [1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд.,М., 1977.

3)И. на алгебраическом многообразии автоморфизм конечного порядка алгебраич. многообразия. Если Xнеособое проективное алгебраич. многообразие над алгебраически замкнутым полем kи gИ. многообразия X, то фактор-многообразие Х| {g} по действию циклич. группы {g} является проективным многообразием и наз. образом инволюции g. Множество неподвижных точек F(g)инволюции gобразует неособое подмногообразие в X. В случае, когда F(g)имеет в каждой своей точке коразмерность, равную 1, образ инволюции gявляется неособым многообразием. Численные инварианты неособой модели многообразия Х {g} могут быть вычислены с помощью Лефшеца формулы.

Лит.:[1] Атья М., Зингер И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 1, с. 127-82; [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1975, с. 77-170; [3] Gоdeaux L., Theorie des involutions cycliques appartenant a une surface algebrique et applications, Roma, [1963].

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985