Математическая энциклопедия - ковариант

тензора tна конечномерном векторном пространстве Vтакое отображение j пространства Ттензоров фиксированного типа на Vв некоторое пространство Sковариантных тензоров на V, что j(g(t))=g(j(t)). для любого невырожденного линейного преобразования gпространства Vи любого Это определение коварианта тензора относительно полной линейной группы GL(V). Если же gне любое, а принадлежит фиксированной подгруппе то получается определение К. тензора относительно группы G. или просто К. группы G.

На координатном языке К. тензора на конечномерном векторном пространстве представляет собой набор функций

от координат тензора t, обладающий свойством: при изменении набора чисел t1. .., tn, определенным невырожденным линейным преобразованием набор чисел s1,..., sm меняется так же, как меняются координаты нек-рого ковариантного тензора s на Vпри преобразовании g. Аналогично (рассматривая вместо одного тензора tконечный набор тензоров) определяется совместный К. системы тензоров. Если же вместо ковариантности тензора sтребовать контраварнантность, получится понятие контраварианта.

Понятие К. возникло в классической теории инвариантов и является частным случаем понятия комитанта. Координаты любого тензора на Vмогут рассматриваться как коэффициенты соответствующей формы от нескольких контравариантных и ковариантных векторов (т. е. векторов пространства Vи его сопряженного пространства V*). Пусть тензору tсоответствует таким образом форма f, а его коварианту s форма h. Тогда hформа только от контраварнантных векторов. В классич. теории инвариантов форма hназывалась К. формы f. Особенно часто рассматривался случай, когда hформа от одного контравариантного вектора. Степень этой формы наз. порядком К. Если коэффициенты формы hявляются многочленами от коэффициентов формы f, то наивысшая из степеней этих многочленов наз. степенью К.

Пример. Пусть n-арная форма порядка r, где х ¹,. .., х ^rкоординаты контравариантного вектора. Форма f соответствует симметрическому ковариантному тензору t r-й валентности с координатами а i1... ir. Пусть

Тогда коэффициенты формы hявляются координатами нек-рого ковариантного тензора s. Тензор s (форма h). есть К. тензора t(формы f). Форма hназ. гессианом формы f.

Лит.:[1] Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.Л., 1948.

В.